Оглавление:
Вынужденные нелинейные колебания
- Решение задачи вынужденных нелинейных колебаний является более трудоемким и сложным по сравнению с решением соответствующей задачи свободных колебаний. Здесь мы рассмотрим и сравним метод постепенного интегрирования, непрерывное приближение Даффипга, медленно меняющуюся амплитуду Ван-дер-поля и вариационный метод Бубнова Галеркина. Метод постепенного интегрирования стыковка, подгонка может быть использован при интегрировании нелинейных дифференциальных уравнений в отдельные разделы. Преимущество этого метода заключается в том, что он точен, когда вся нелинейная система оказывается Линейной в отдельных сечениях например, для характеристики упругих сил, состоящих из нелинейных сегментов.
Точная подгонка решения основана на эквивалентности обобщенных координат и обобщенной скорости в точке стыковки. Существенный недостаток этого метода громоздок и обычно связан с необходимостью решения многих трансцендентальных уравнений. Метод даффинга непрерывной аппроксимации полезен при интегрировании дифференциальных уравнений движения. Х нет. х С. Ф Х ч греха пт. Где f x — непрерывная нелинейная функция x, а и -малые параметры. Этот метод позволяет найти периодическое решение с круговой частотой Р возмущающей силы и изменением кратности ее частоты.
Поэтому приходится составлять дифференциальные уравнения колебаний диска при движении в каждом из направлений (по и против часовой стрелки) в отдельности. Людмила Фирмаль
Первое приближение найдено в виде x1 a1sinpf решения соответствующего линейного уравнения X k2x h sin pt. Тогда в приближении x2, x … помимо фундаментальной круговой частоты p появляется гармоника частоты кратной p. Из-за малой нелинейности уравнения считается, что основная гармоника ajSinpf, полученная в первом приближении, не изменяется. В зависимости от требуемой точности можно найти любое количество последовательных приближений. Однако, если первые 2 приближения вычисляются очень просто, переходя к 3-му, объем вычисления резко возрастает, и результат несколько улучшается.
Поэтому рекомендуется ограничиться определением первых 2 приближений. При исследовании свободных нелинейных колебаний методом ван-дер-поля медленно изменяющихся амплитуд, рассмотренным выше, можно найти приближенную формулу для вынужденных нелинейных колебаний в установившемся состоянии. Этот метод используется, например, в некоторых случаях при интегрировании дифференциальных уравнений X — — kix p, — f x, A, f Ч К Х р- х, а — — грех, грех-пт. Где f x, x — непрерывная нелинейная функция x и A, а p и A-малые параметры. Напишите это уравнение на форме Х п х F х, а, т Где F x, A, 0 p — A x p- x, A hsin rf, x A 1 PF, найти его периодическое решение, где r a, a и a-константы.
Значения и находятся из системы уравнений Гия Ф асини, АР cosph, cosph О ст Х ф asinph, АП cosph, sinph рН 0. Метод ван дер поля эффективен и прост. Полученные им приближенные результаты соответствуют первому приближению методом даффинга. Диапазон метода Ван дер поля шире, поскольку он используется для нелинейных функций f x, A , которые зависят как от x, так и от L напомним, что метод Даффинга используется для нелинейных функций x , только на x. В то же время, вычисляя 2-е и последующие приближения методом Даффинга, можно получить более точный результат, чем метод ван дер поля.
Итак, если движение описывается дифференциальным уравнением I 2nL L x px vx3 h sinpf Где p, v и h-малые параметры и могут быть решены методом ван-дер-поля, но метод Даффинга не является available. To уравнение Потому что А ср Соз ч потому что у Т если p и A являются малыми параметрами, вы можете применить любой из этих 2 методов. Вариационный метод Бубнова-Галеркина в настоящее время является одним из наиболее распространенных приближений для интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений вынужденных колебаний.
Один Он основан на вариационном принципе гамильтониана Остроградского и записан в следующем виде Где dq-изменение обобщенных координат q объекта, а p-круговая частота возмущающей силы. Если сила возмущения изменяется по закону S Hsinpt, а нелинейная функция нечетна, то обобщенная координата q находится в следующем виде вопрос грех пт АА грех зпт на грех 5пт. это хорошая вещь. параметр alt a at определяется позже. Используйте q alsinpZ для первого приближения, a inpt-y a для второго q, sin3pf и так далее. Вариационные методы имеют широкий спектр применения, так как их применение не связано с малой нелинейностью системы.
Напомним, что методы Даффинга и Ван дер поля применимы только в уравнениях с малыми параметрами Q нелинейных функций, то есть в уравнениях с членами p, — f x или pf x, x. Если аппроксимация после 2-го определяется вариационным методом, то при незначительном улучшении результата сумма расчета reeco увеличивается. Поэтому в большинстве случаев лучше ограничиться только нахождением первого приближения.
Задача 20.14. Кроме того, мы решим проблему 20.12.Предположим, что возмущающая сила действует на нагрузку, а проекция оси x равна 5X Y sin pt. In случай резонанса не учитывается. Решение. Эта нелинейная система является линейной в некоторых разделах. Поэтому мы применяем метод пошаговой интеграции. Движение груза описывается двумя линейными дифференциальными уравнениями. а под действием умеренной пружины в Х X AJx B sin pt, 1 Где k сі с, ч его- Б под действием Центральной и боковой пружин с использованием x Х JX у грех пт 2 Здесь-cjm, h И М.
Интегрируйте эти уравнения и выполните эти условия хранения. если f Tj, то существует x 1, X Xth, в результате чего мы находим закон движения груза. а когда х я — Фе СЛН КЛТ SFT3 СЛН b момент стыковки отсчет времени e начинается с нуля х я, потому что 4-1 КТТ грех Пи Где а-проекция скорости канавки в момент стыковки, равная — ч — ipzjs Л. н Момент сцепления определяется из трансцендентального уравнения T, ftj-7 slnA1T1 p stnPti-z — 3 Время прохождения T2 от дока до прибытия груза в крайнее положение определяется трансцендентальным уравнением. — ЛКТ sinЛ2т2 а, Кос-Ата Джей-Пи cospr2 0.
- Амплитуда, необходимая для колебаний нагрузки, равна а потому что А2м а,-грех Ата СЛН ПБ. Желаемый цикл колебаний нагрузки Г 4 Т1 Т2 Кроме того, Ti и T2 найдены из формул 3 и 4. — Итак, в процессе решения задачи методом пошагового интегрирования мы должны решить 2 трансцендентных уравнения 3 и 4.Решение является точным, но громоздким, и более целесообразно применить одно из приближенных methods. In в этом случае нелинейность не мала.
Таким образом, метод даффинга или метод ван дер поля не могут быть использованы, и вариационный метод должен быть применен. Периодичность вибрации груза равна периодичности возмущающей силы, то есть T 2n p. В первом приближении мы ищем движение вакцины вида х asinpt Здесь амплитуда а подлежит последующему определению. В настоящее время боковые пружины и грузовая стыковка Ti, то есть l asinpxi, whice а грех РТ чтобы определить q, решите уравнение ти п ТП Дж й-л-Ай — ftsin РФ 6jr машины ТТ4-й AJx-ч греха пт 6х Ди 0.
Решение задачи осложняется тем, что при переменах направления вращения диска меняется направление момента силы трения, который, будучи величиной постоянной, должен в дифференциальном уравнении колебаний менять знак. Людмила Фирмаль
Если подставить формулу 7 x aslnpt, то 6×6a sin pt е с J-П8 — фут sin2 rfrf — Ж-Ж А К и-п — ч slnptptdt о 5 х л 6 Если вычислить Интеграл и использовать формулу 6, то получится переходное уравнение л Фе —Р9 2pTi-грех 2 Уол 5-Р2 л-2 пикселя 2 пикселя — НХ 0, оттуда вам нужно найти МХ. Тогда уравнение движения искомой амплитуды колебаний и нагрузок определяется по формулам 6 и 5. Это приближенное решение вариационным методом должно быть предпочтительнее точного решения методом ступенчатого интегрирования. Задание 20.15.
Если существует дополнительная возмущающая сила, проекция которой на ось x равна S, — Hs npt, 0 R 1, Найти закон периодических вынужденных колебаний рассматриваемой нагрузки в вопросе 20.13. Решение. термин ftsinpf добавляется в правую часть дифференциального уравнения в вопросе 20.13 1.Где h H m-малый параметр, подобный p. Л Л Х — РХ ftsinpt 1 Это уравнение может быть грубо интегрировано наиболее распространенным вариационным методом.
Наличие x и h малых параметров позволяет применять метод ван-дер-поля. Для малых параметров p и h можно также использовать метод даффинга, так как нелинейный член x зависит только от X. Формула 1 для p y интегрируется методом даффинга в вопросе 20.8 см. стр. 405-407, и получены первые 2 приближения. Первом приближении Си СБ греха пт 2 Где амплитуда ah определяется уравнением 3-го порядка 3 Квадратичная аппроксимация. в СЛН РЧ-п-г sinSpf.
Переход от 2-го приближения к 3-му свидетельствует о том, что решение задачи значительно сложнее. Формула 1 Джей Р2х Р2-Л Х-px3 bslnX 5 Замените x справа на xt в уравнении 4, чтобы представить это право как сумму обертонов круговой частоты p и кратных круговой частоте. Х ЧР л грех грех пт Ксин 3 ПТ 4-л грех 5пт м грех 7pt-Ф-Wwin, 9 точек, 6 Где это показано Б АИ лит-А2 — п. ЭйДжей ч- дь GGJ связанных файлов вручную — с Р 1-Т Т — — Лы — Т здж lg — TN Z5 — Чтобы решение уравнения 6 было циклическим, B 0, то есть jjji −41 — о.
Поэтому для определения ax вместо уравнения 3-го порядка 3 необходимо решить 7-е I следующее уточненное уравнение 8.оно отличается только 2-м и 3-м порядками малости параметров P, r. Hel. Интегрируя уравнение 6, получим 3-е приближение в виде Х8 АИ sinpf ДС грех ИПТ ДТ грех 5пт д, грех 7pt д, 9 кегль, грех, 9 В дальнейшем Д — К 8П, ДТ—Л 24П, Д4 — MI48, d — NI80p где K, L, M и N задаются формулой 7, а амплитуда первого приближения ax задается уравнением 8. Если мы перейдем от 2-го приближения к 3-му, то увидим, что количество вычислений увеличивается в несколько раз и результат несколько улучшается. Поэтому рекомендуется ограничиться расчетом 2-го приближения.
Используя метод ван дер поля, находим решение уравнения 1 в виде jr a1sini a1sinOrf a , 10. at и — это константа, которая определяется. Чтобы найти Ох и составить систему уравнений Ф Асин, −2 cos dip 0 Ф asinip, sinph дип о Второй 2л y-j-это правая часть результата X выражения 5 присваивания, то есть Ф А sin , 0 -кг sin -вторичный марки греха ч греха -а. После вычисления интеграла получаем h sin a О. д — Я топор — — ч-что в-ПА 0. Если вы решите эту систему уравнений, вы найдете 0 О в1 122 0. 11 искомое решение a 0 10 вводится x a1sinpt в первом приближении 2, полученном выше методом даффинга. уравнение 3-го порядка 3 и 11, где находится alt, также одинаковы.
Итак, методом Ван дер поля и Дюфинга, вплоть до первого приближения, был получен тот же результат. Объем расчета примерно такой же. обратите внимание, что метод ван дер поля определяет только 1 приближение, а метод Даффинга находит последующее approximation. In в частности, когда сумма расчета немного увеличивается, мы находим 2-е приближение. Для решения этой задачи вариационным методом находим первое приближение вида x ats npt. Подставляя в уравнение для определения входных данных ГИА П — I y H pkh — ftsinpf fixctt 0 12 После вычисления значений x axslnp и 6X 6axslnpt интеграла уравнение 12 принимает вид уравнений 3-го порядка 3 и 11.
Таким образом, тот же результат был получен при применении 3 методов. Определение первого приближения вариационным методом является более эффективным, чем методы Даффинга и Ван дер поля. В то же время решение 2-го приближения вариационным методом существенно усложняет решение задачи. Фактически закон 2-го приближения найден в Формуле 12 x ax sin pt a, sin 3pt и его вариации BX 6axsinp 6a8sin 3pt. 2-е ГП, ГП Р 6ax J RsifipttW-j-Ca, J Rsln3p 0. 13 Марк здесь. 22-г — — sl slnpf aa k — 9p2 sin 3pt sin sin8 — — — 3paja8sin pt sinЗр з Sin PT SIN8 3PT ЦА Sin 3pt. Учитывая независимость переменных t aL и 6a8 от уравнения 13 J Rsin R 0, J l Sin3 R 0.
Подставляя значение R для вычисления интеграла, вы получаете 1 П2-ПГ — ч-па А8 г х 01a1 0, ч А2-ЭР2 — АА па А8 — poj 0. Для определения движения x a1slnp — — a3 и a8sin3pf, которые являются частью искомого закона, необходимо решить сложную систему уравнений 3-го порядка 14.Поэтому расчет 2-го приближения вариационным методом является impractical. In это дело, во 2-м приближении, рекомендуется использовать даффинг method. At при этом не следует забывать, что использование вариационных методов не связано с малой нелинейностью.
Смотрите также:
Предмет теоретическая механика
| Вариационный метод (метод Бубнова-Галеркина) | Исследование нелинейных колебаний на фазовой плоскости. Основные определения |
| Свободные нелинейные колебания | Фазовые портреты линейных систем |
