Оглавление:
Вынужденные колебания твердого тела с учетом гироскопических сил
- При создании дифференциальных уравнений для этого движения можно использовать теорему об изменении главных моментов импульса. Выражение для основных моментов импульса, приведенное в разделе 1 a этого раздела, определяемое выражением 2, остается valid. В отличие от ранее рассмотренных малых колебаний, момент возмущающей силы входит в основной момент внешней силы относительно неподвижной оси. Наиболее распространенной возмущающей силой, действующей на твердое тело, вращающееся вокруг оси, является сила, создаваемая дисбалансом в Роторе.
Для решения задачи определения вынужденной вибрации твердого тела с 2 степенями свободы под действием силы гироскопа рекомендуется следующая последовательность действий 1 Выберите стационарную подвижную систему координат. 2 создает представление главных моментов импульса тела и главных моментов внешних сил относительно неподвижных координатных осей. 3 Использовать теорему об изменении основного момента импульса для нахождения дифференциального уравнения малых колебаний.
Часто ошибочно полагают, что центр инерции авто-машины непосредственно приводится в движение силой давления газов в цилиндрах двигателя. Людмила Фирмаль
Система дифференциальных уравнений, определяющая вынужденные колебания системы, ищущей конкретное решение. б определить критическую угловую скорость ротора, при которой происходит явление резонанса. 6 найдите нужное переменное предельное значение, угол поворота ротора увеличится до неограниченного количества оборотов. Используйте приведенный ниже пример, чтобы показать, как исследуется вынужденная вибрация Ротора, вызванная его собственным дисбалансом. Задача 18.38.В условиях задачи 18.36 определяют вынужденную вибрацию вала, которая вызвана статическими и динамическими дисбалансами.
Статический дисбаланс вследствие неточности изготовления вала задается смещением центра тяжести на небольшое расстояние е эксцентриситет от геометрической оси вращения. Динамический дисбаланс из-за погрешности изготовления задается малым углом b между главной осью инерциального центра и геометрической осью rotation. It также определяются динамические составляющие реакции упругой опоры и шарнирной опоры. Solution. To построим дифференциальное уравнение для колебаний малого вала, воспользуемся теоремой о движении центра инерции И теорема об изменении основного момента импульса при относительном движении относительно центра инерции вала.
Эти теоремы 8 записываются следующим образом ЖРС-К Г ЛС СЖО Т −2 ЕК с Где y, zc-координата центра инерции вала, R , Rj-проекция главного вектора внешних сил на ось y, z, La Основной момент импульса вала относительно оси Lct, параллельной неподвижной оси, vale, s tcu R , проведенный через центр инерции y, z Vcu, p -основной момент внешней силы является центром инерции.- −1 −1 Точно такая же ось. Убедитесь, что точка а оси вала, расположенная в плоскости упругой опоры, получает малые перемещения y, z вдоль оси неподвижной оси.
Тогда координаты центра инерции вала будут следующими с Дж потому что КЦ-з esinmf я-б. Углы, образованные главной центральной осью инерции и координатной плоскостью xz и xy, равны Р р 6, потому что — е г 6 Кос коф е, г г 6sin Фэр-е 4- dsln в-е. Где p, y-угол, образованный геометрической осью вращения в координатной плоскости xr и xy, а-e-angle. It состоит из плоскости, проходящей через ось вращения и главную центральную ось инерции, и имеет плоскость xy. Проекция на координатные оси момента движения основного момента импульса 1C в — в, LCT ААУ ВР.
Основными моментами внешней силы на оси y, r через центр инерции оси являются 6. Где рли, гамма Является проекцией на соответствующую ось реакции шарнирной опоры, — su, — cz является проекцией на ось реакции упругой support. So, проекция внешних сил на координатные оси выглядит следующим образом —— КЛ Р,, А—— Т Найденные значения с учетом формул 3 и 4 5 6 7 присвоить выражениям 1 и 2.Затем, из системы 4 уравнений, удаляя неизвестную проекцию реакции связанной опоры Riy, Rlt, наконец B A4Z Ы-Ашуу СРХ- Меа л л грех в Б-а ко б греха Ат-р, б М1 АА КПЮ 8 MeaHil соз Б-А 1а и COS в-е.
Полное решение этой системы обыкновенных неоднородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами состоит из общего решения однородной системы, полученного в задаче 18.36, и частного решения неоднородной системы. Последнее определяет вынужденную вибрацию системы.
Найдите конкретное решение в следующем формате у COS в грех кроватка т в COS в Б2 грех кроватка Присвоить значение переменной 9 и ее производной системе уравнений 8, чтобы уравнять коэффициенты одних и тех же тригонометрических функций sin at, cosat каждого из полученных алгебраических уравнений. Получаем алгебраическую систему уравнений с неизвестными a, b, a, b. при условии cP- B M1 A ФО Найти неизвестные значения Afao 1 B-A iMsoav 1 д — ы я -А Ж. — Б А 1 о 8sin В Е — В Нет.- А а 2 У П принимая во внимание полученные значения at, bx, конкретное решение 9 можно записать в виде Или куда y a1coz Б1 с, 1 з — b1cosat a1iln я т, J г со -А и Z 7sin а — а 7 СЗ Б, а равенства arctg—.
Поэтому при вынужденной вибрации точка вала а рисует окружность радиуса H и вращается с угловой скоростью в направлении вращения самого вала. Ось вала в этом случае представляет собой сторону конуса с вершиной в неподвижной точке О. Вынужденные колебания, вызванные дисбалансом в валу, соответствуют прямой прецессии вала с угловой скоростью, равной величине собственной угловой скорости вала. При изменении угловой скорости вала от нуля вынужденная вибрация и возмущающая сила вала будут совпадать по фазе до тех пор, пока она составляет C 4 o B M J co. B L1 когда c0 c , Di2, это обратная фаза.
Если увеличить угловую скорость вращения самого вала до неограниченной величины, то из формулы 11 вытекают пределы 01, b1 lMeltl Б — Д 8cose 1 а дополнения Ш-Д ИМБ — го ZD d 15. Используя приведенную ниже формулу 14, можно найти предельное значение радиуса окружности, которое описывается правой кромкой вала. Общее решение дифференциального уравнения 8 состоит из общего решения этих уравнений без правой части и частного решения неоднородного уравнения.
- Общее решение системы однородных уравнений 27 найдено в задаче 18.36. Если вы добавите это решение к конкретному решению 13, вы найдете самое правое уравнение движения вала под действием возмущающих сил, вызванных статическим и динамическим дисбалансом вала. Г топор грех пит Х грех p4f а 4-ч в COS со -А, З топор, потому что pxt в — при COS ПТТ А ч греха п-а. Это решение было получено без учета сил сопротивления, препятствующих вибрации shaft. No неважно, насколько мало сопротивление 16 Они приводят к резкому расширению свободных колебаний, которое определяется в первых 2 членах правой части уравнения 16.На это указывал вопрос 18.37 в случае вязкого трения forces.
Если рассматривать вибрацию, вызванную дисбалансом вала в установившемся состоянии w const , то можно опустить первые 2 члена правой части уравнения 16. Этого нельзя делать при рассмотрении переходного режима, при пуске и остановке вала, при переключении с одного режима на другой, то есть при изменении угловой скорости вала во всех случаях. Рассмотрим критическую скорость вращения вала. Если уравнять определитель системы алгебраических уравнений, полученный путем подстановки частного решения 9 в дифференциальное уравнение 8, то получим уравнение частоты. с 2- Б Л А О Е 2- Б П1 -Л 1 С О, 17 Где я могу получить 2 уравнения С В А С 2 0, с — Б АФ Джей-а со 0.
Какая сила приводит в движение центр инерции втомашины, движущейся по негладкой горизонтальной дороге? Людмила Фирмаль
Эти уравнения не имеют общих корней за исключением случая 0, который соответствует случаю, когда нет силы гироскопа. Это можно легко проверить, вычитая одно из другого. Из уравнения 18 Критическая скорость вала ОЖ- ТВЦ ВБ РИИ-в ИВТ б ми а 19 20 Таким образом, есть 2 важных скорости вращения в shaft. By сравнение значений этих критических скоростей со значениями собственных частот невращающихся валов задача 18.36 я по Р Вращение вала, увеличивающее число критических скоростей в 2 раза, делает 1 из них меньшей, а 2-ю-большей, чем собственная частота невращающегося shaft. Be осторожнее в таком случае B M1KA 1. значение критической скорости становится мнимым числом.
Как видно из Формулы 11, при вынужденной вибрации вала, вызванной статическим и динамическим дисбалансами, возникает резонансная вибрация, соответствующая только 1 критической скорости. Действительно, когда знаменатель в правой части уравнения 11 исчезает, возникает резонансная вибрация. Это дает значение критической скорости 19.Резонансная вибрация, соответствующая 2-му 20 значению критической скорости, не возникает в случае возмущающей силы, вызванной дисбалансом вала. Приступаем к определению динамической составляющей реакции организма. support.
To найдите реакцию упругой опоры, составьте дифференциальное уравнение движения этой опоры, мысленно отбросив Вал и заменив его действие нужной реакцией RA. У нас есть мой — ТИЦ Рэй, м2 — ЧР Рар 21 Где m-масса части опоры подшипника, которая не вращается вместе с валом, а колеблется вместе с валом. Смещение y, z упругой опоры было найдено ранее 13.Подставляя эти функции и их производные в Формулу 21, получаем В этом случае нет необходимости использовать один и тот же метод.
Отсюда РА с-Ма — Н 22. Из этой формулы видно, что если опорная масса удовлетворяет уравнению, то при наличии дисбаланса статического и динамического валов реакция упругой опоры точнее, ее динамической составляющей исчезает. 23 Если вы знаете рабочую скорость вала и коэффициент жесткости опоры обычно выбираемый при оптимальном положении критической угловой скорости вала, вы можете достичь динамической составляющей при данной рабочей скорости, правильно выбрав массу невращающейся части упругой опоры.
Если вал имеет определенный диапазон рабочих скоростей, то выбор массы опоры в соответствии со средней рабочей угловой скоростью 23 может значительно снизить реакцию опоры по сравнению со значением в случае жесткого монтажа опоры. Определите динамическую составляющую реакции шарнирного соединения support. To сделайте это, мысленно освободите вал от шарнирной опоры, заменив его действие желаемым противодействием. Рассмотрим 1 7 дифференциальное уравнение центра инерции вала в проекции оси.
Подставляя значения yy, zc по этим формулам 3 и перемещения упругих опор y, z 13 1 — МА1-yjHcos эрф-а — Aleto2 потому что в РУ с т ч с н ж -а — Aleco3 греха, где мы получаем Ри с-A1u — ч Ал Ио Е1-2Af о е с-Ato3 А Х. 25 По мере того как угловая скорость вала увеличивает, реакция совместной поддержки увеличивает бесконечно. Задача 18.39.В условиях задачи 18.36 определите, должна ли нарушаться вынужденная вибрация оси вращения Сила F, которая направлена параллельно оси y и приложена на расстоянии от неподвижной точки O см. Рисунок.
Проекция возмущающей силы на ось y изменяется по формуле Ф Ф0 COS при, 1 Fo-максимум возмущающих сил, -угловая скорость вращения самого вала. Решение. Выпуск 18.36 использует проекцию импульса на неподвижные оси y и r. , ОЗП- Б АФ ДВ 1 2, Аюу В А1 J В 1 Основным моментом проекции внешней силы в состоянии покоя является Г м, — Клайд-ЗСТ, потому что на. Если ввести эти значения в теорему об изменении главных моментов числа движений Лю б СЧ 0 -Клайд-Фау, потому что 5 Подставляя угловое значение 3 в эти уравнения, получаем следующую формулу Б МФР-Аар cpz по О, 1 Б АФ от ZJ J в СИА КПЮ -Фоа я, потому что на.
Конкретное решение уравнения 6, определяющее вынужденную вибрацию вала, находится в следующем виде г ВСО в, з dsinco. 7 Подставляя 6 в формулу 7 и сводя ее соответственно к coszt и sin, получаем алгебраическую систему уравнений для определения бутона. 4 i b d — B AfZI w d 0, 1 cB Б мцЛ ко б Аахе -Ф ООО. J 8 Из Формулы 8 т е с — В4-АП Б А Д х е — г- В А я П а — с — Б АФ Щ Исчезновение знаменателя в этих уравнениях указывает на бесконечное увеличение амплитуды колебаний правого конца вала.
Это явление называется резонансом. Таким образом, резонанс является Отсюда, есть 2 значения критической скорости. Канзас Глаг мил-а, л-1 7 0 2 IV L4 L Так, в отличие от рассмотренных в предыдущих задачах вынужденных колебаний, вызванных дисбалансом вала, в данном случае резонанс возникает при любом из 2 значений критической угловой скорости вращения вала. Найти отношение амплитуды вблизи резонанса, соответствующее 2-му значению критического velocity.
Таким образом, при этих колебаниях ось вала рисует конус в направлении, противоположном правильному вращению вала. Это движение называется прецессией обратной оси. Затем находим отношение амплитуды вблизи резонанса, соответствующее начальному значению критической скорости. У нас есть б — б Minoi ЕР — д — — М в Л -Д ди ли ср в B MIJ-A. В этом случае движение оси вала непосредственно соответствует прецессии.
Смотрите также:
Предмет теоретическая механика
