Оглавление:
Вынужденные колебания нелинейных систем (аналитические методы). Метод поэтапного интегрирования
- Ранее был рассмотрен метод ступенчатого интегрирования, применяемый к свободным колебаниям нелинейной системы. Этот метод также может быть использован для исследования вынужденных колебаний нелинейной системы, когда свойства упругой силы или сопротивления состоят из нескольких прямых сегментов. Решение задачи ограничивается интегрированием линейных дифференциальных уравнений, соответствующих линейной части силы characteristic. В этом случае должны быть выполнены условия сопряжения уравнений. Конечное условие движения на этой стадии должно быть равно начальному условию соответствующего движения на следующей стадии.
В результате вынужденные нелинейные колебания описываются системой уравнений, число которых равно числу линейных отрезков в свойствах упругости. Применение метода ступенчатого интегрирования к задаче вынужденной вибрации является более сложным, чем применение свободной вибрации к соответствующей задаче. problem. In в этом случае вам нужно решить трансцендентальное уравнение, что довольно трудоемко. Выпуск 20.7.Вал, который удерживает массу с твердым уплотнением на одном конце и моментом инерции Jt z-ось симметрии вала на другом свободном конце, совершает крутильные колебания. Возмущающий момент приложен к массе, и гармонический закон изменяется на окружной частоте W.
Итак, человек, стоящий на идеально гладкой горизонтальной плоскости, может повернуться вокруг оси, проходящей через его центр тяжести перпендикулярно к этой плоскости. Людмила Фирмаль
Максимальное значение возмущающего момента-Mff. Фрикционный демпфер амортизатор крутильных колебаний соединен с валом. Демпфер создает момент сопротивления, который прямо пропорционален углу поворота вала. Общая конструкция так называемой треугольной характеристики, изменяющей момент упругости вала и момент сопротивления демпфера, показана на рисунке.
При вращении колебательной системы из положения равновесия оба момента с одинаковым знаком суммируются ветвь Cj , а при возвращении в положение равновесия эти моменты с разными знаками вычитаются ветвь Cj .в этом случае характеристика нарушается, а суммарный момент уменьшается на величину cx-Ca cp0.Где 0-максимальное значение, А Ci и c2-модули упругости, соответствующие верхнему пределу. В общем случае метод постепенного интегрирования может быть использован при интегрировании нелинейных дифференциальных уравнений в отдельные разделы. М.
Принудительная вибрация в системе с гистерезисом, прикл. Мат. Новая серия, том IV, 2, 1940. Нижняя ветвь признака. Если колебательная система вращается из положения равновесия в противоположную сторону, то общие характеристики получаются такими же way. As в результате образуется истерический равный треугольник, в котором общие вершины и стороны соединены друг с другом. Сумма площадей этих треугольников будет равна числу заданий, поглощенных за 1 период колебаний. Подобные треугольные характеристики встречаются даже в пластинчатых пружинах железнодорожного подвижного состава.
При отсутствии демпфера характеристикой изменения упругого момента вала является прямая линия с коэффициентом упругости c y ci c2 см. пунктирную линию на рисунке. Найти уравнение крутильной вибрации. Предположим, что они выполняются с круговой частотой w, равной круговой Периодический закон частоты момента заклинивания. Решение. Суммарные нелинейные характеристики треугольника Упругие и резистивные моменты в некоторых сечениях линейны. Поэтому для исследования этой нелинейной системы рекомендуется разделить период колебаний Y 2 л с на 4 этапа и применить метод постепенного интегрирования.
Вращение без напряжения-ноль-вращение в крайнее положение-вращение по часовой стрелке 2 возврат в нулевое положение из экстремума 3 Вращение из нулевого положения в другое крайнее положение-по часовой стрелке и 4 возвращение в нулевое положение из экстремума. Свойства треугольника симметричны относительно полупериодов. Таким образом, первая и 2-я стадии происходят между первым полупериодом 772 l s, а 2-я и 3-я стадии происходят между 2-м полупериодом l s. Поворот из нулевого положения в экстремум происходит при коэффициенте C , а возврат в нулевое положение происходит при ci и происходит при ci Cj.
Таким образом, длительность отклонения от нулевой позиции к экстремуму не равна длительности возврата от экстремальной позиции к нулю. Показывает неизвестную длительность отклонения от нуля до экстремума в t. In отношение к. Эти шаги выполняются через следующие интервалы времени 1 0 m, 2 ч 4 Если есть момент сопротивления, то есть фазовое отставание от момента сопротивления. disturbance. So, предполагая, что в начальной точке, т. е. 0 и угол поворота равен 0, мы вводим некоторый прогресс в движении из-за неупорядоченных моментов фазы и показываем его в cp, где P все еще unknown. In это соединение, напишем на бланке непростой момент М А. грех Ф4-П.
- Движение на первом этапе от нулевого положения до предела 0 bt соответствует верхней ветви C8 характеристики треугольник. Форма дифференциального уравнения движения имеет вид 4Ф1 -С1Ф1 И0sinсо р Иначе говоря Ф1 П1 т0 греха Вт Т П, 1 Где A Движение на 2-м этапе-движение m L co от экстремума к нулю соответствует нижней ветви C8 характеристики треугольника, а дифференциальное уравнение 2fa — cs pa L sin b P , то есть является разницей между ними.
Шаг 3 соответствует дифференциальному уравнению 1, а Шаг 4-уравнению 2. Общие решения дифференциальных уравнений 1 и 2 имеют вид Ф, — С, cosO С, sin tj sin s 1, 3 C. cos C. sInW rslnuC P. 4 Дело А o и A8 w ниже не рассматриваются. 6 неизвестных, 4 константы интегрирования Cj, Cb, Cb, CB Ct, а также используют начальные и конечные условия движения на отдельных этапах и сопряженные условия для определения дальности стрельбы. Используя производные функций 3 и 4 по времени, запишем Ф1 — СЛ грех kjt Ctki потому что kjt потому что о Т П, 5 Ф — — — — С грехом СЛ, потому что в cosoIt ..
Может ли повернуться человек, стоящий на идеально гладкой горизонтальной плоскости, если он начнет вращать руку над головой? Людмила Фирмаль
Значение выражения 3 t 0, pi 0, значение выражения 4 t-n u , ф8 0, значение выражения 5 i t, фх 0 В формуле 6 значение m, 0.Если вы решите уравнение результата С1 я 3 СЛН 0 потому что С1 СЛН грех и Х потому что кит sinШр cosш т р синоу,,, Х грех комплекта грех Джур-потому что г г потому что К2 — — Дж. После ввода этих значений 7 в уравнения 3 и 4, для принятия решения об использовании условия соединения, тире остается неизвестным в уравнении. 1 X , xx2 1 0 — Чтобы применить первое сопряженное условие, подставьте значения выражений 3 и 4 m и сделайте их правые стороны равными. СХ потому что набор Набор Калифорния грех грех у Т П С, я, т С4 греха комплект sinw т п.
Чтобы использовать 2-е сопряженное условие, подставьте значение f 0 в выражение b , значение f l w в выражение 6, инвертируйте знак 6, а затем сделайте правую сторону равной. Что вы получаете Я ни потому что- Cfkt грех ка -.С4 COS COS KF COS P — 9 В формулах 8 и 9 интегральные константы Cb, Cb, C определяются по формулам 7. После ряда простых преобразований уравнения 8 и 9 принимают вид А-Б ВП синут-к ТГ 4 4 Где находится обозначение Из трансцендентальной системы уравнений 10 и 11 мы можем найти искомые значения m и tgcop для фиксированной пары значений p и q, то есть для конкретной связи между ct и w. например, если вы решите эту систему уравнений графически, вы найдете tg cp и pc.
Напомним, что через m он показывает временной интервал отклонения от нулевой позиции до extremum. So, ПК-это фаза, то есть угол, соответствующий моменту T. In это соединение, ПК будет называться максимальный угол отклонения в будущем. использование декартовых осей, чтобы определить tgcop и Утэ. Сюжет значения ПК на горизонтальной оси, а значения tgcop на вертикальной оси. Создайте кривую из точек, задав ряд значений UT и определив соответствующие значения tgcop в соответствии с 10 и 11. tgp i e T , tgcoP i coT , соответствующие формулам 10 и 11.Координаты пересечения этих кривых фиксируют искомые значения uj и tgcop.
Вводя их в уравнения 3 и 4, получаем искомые законы крутильных колебаний. Вы можете использовать одно из этих уравнений для определения угловой ширины вибрации cp0.Это потому, что если M, то Р1 СР, то Р0.Например, из Формулы 3 0 С, cos AjT С, sin k t sin co t , 12 Здесь ПК и КС определяются в результате графических решений трансцендентальной системы уравнений 7 10 и I , Cx и C. На практике крутильная вибрация вала часто возникает при величине, пропорциональной. поэтому предположим. Где a-положительная константа coefficient. In в этом случае формула 12 принимает вид X sin j yST COS 0 T P Sin P J, 13 где p w A , Дя сі с.
Как видно из анализа уравнения 13, при увеличении q, то есть момента сопротивления, амплитуда колебаний p0 уменьшается. С Р Q, амплитуды Р0 увеличивается на неопределенное время. В этой нелинейной задаче мы согласны понимать под резонансом явление вынужденного колебания, возникающее, когда окружное волновое число w возмущающего момента равно окружному волновому числу k собственного колебания.
Частота K окружности определяется при отсутствии момента сопротивления, то есть характеристика треугольника вырождается в прямую линию с коэффициентом жесткости, равным c y ci cg см. пунктирную линию на рисунке. Если разделить c на момент инерции 1d, то получим t. Итак, при резонансе, то есть если o k, то q AJ AJ eci Cjel, p w AJ w A 1.подставляя q p l, мы видим из уравнения 13, что резонансная амплитуда p0 увеличивается бесконечно. В то же время при увеличении момента возникновения и сопротивления, то есть в случае q 1, максимальная амплитуда колебаний перестает возникать при 1, но несколько смещается в сторону увеличения w A.
Как показывают расчеты, максимальный угол отклонения ПК относительно близок к 90-м гг. Таким образом, в случае колебаний с высоким сопротивлением q 3 угол ПК равен zr 77 при резонансе, затем монотонно увеличивается с увеличением w и приближается к 90.Если уже w A 2.1, то pc 87.Если величина момента сопротивления мала, то есть 1 q 1.25, то угол максимального отклонения ПК колеблется при резонансе в пределах 88 pc 90 w A 1, и по мере его увеличения он приближается к 90 W A.
Смотрите также:
Предмет теоретическая механика
