Оглавление:
Выпуклость графика функции. Точки перегиба
График дифференцируемой функции 
называется выпуклым вниз на интервале 
, если он расположен выше любой ее касательной на этом интервале. График функции называется выпуклым вверх на интервале , если он расположен ниже любой ее касательной на этом интервале.
Точка графика непрерывной функции , отделяющая его части разной выпуклости, называется точкой перегиба.
На рисунке 154 кривая выпукла вверх в интервале 
, выпукла вниз в интервале 
, точка 
— точка перегиба.
Интервалы выпуклости вниз и вверх находят с помощью следующей теоремы.
Теорема 25.11. Если функция во всех точках интервала имеет отрицательную вторую производную, т. е. 
, то график функции в этом интервале выпуклый вверх. Если же 
— график выпуклый вниз.
Пусть . Возьмем на графике функции произвольную точку 
с абсциссой 
и проведем через касательную (см. рис. 155). Покажем, что график функции расположен ниже этой касательной. Для этого сравним в точке 
ординату у кривой с ординатой 
ее касательной. Уравнение касательной, как известно, есть
, т. е. 
. Тогда 
. По теореме Лагранжа, 
, где 
лежит между 
и 
. Поэтому
т. е.
Разность 
снова преобразуем по формуле Лагранжа:
где 
лежит между и . Таким образом, получаем
Исследуем это равенство:
1) если 
, то 
и 
. Следовательно, 
, т. е. 
2) если 
, то 
и . Следовательно, , т. е. 
Итак, доказано, что во всех точках интервала ордината касательной больше ординаты графика, т. е. график функции выпуклый вверх. Аналогично доказывается, что при график выпуклый вниз.
Для нахождения точек перегиба графика функции используется следующая теорема.
Теорема 25.12 (достаточное условие существования точек перегиба). Если вторая производная 
при переходе через точку , в которой она равна нулю или не существует, меняет знак, то точка графика с абсциссой есть точка перегиба.
Пусть при и при . Это значит, что слева от 
график выпуклый вверх, а справа — выпуклый вниз. Следовательно, точка 
графика функции является точкой перегиба.
Аналогично доказывается, что если при и при , то точка — точка перегиба графика функции .
Пример №25.12.
Исследовать на выпуклость и точки перегиба график функции 
.
Решение:
Находим, что 
. Вторая производная существует на всей числовой оси; 
при 
.
Отмечаем, что 
при 
при 
.
Следовательно, график функции в интервале 
— выпуклый вверх, в интервале 
— выпуклый вниз. Точка (0; 5) есть точка перегиба.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
| Максимум и минимум функций |
| Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке |
| Асимптоты графика функции |
| Общая схема исследования функции и построения графика |
