Вынужденные колебания системы

Вынужденные колебания системы

Если сила, которая вывела систему из положения равновесия, продолжает действовать, то такое колебание не будет свободным, будет вынужденным. И эта сила называется возмущающей силой.

Рассмотрим колебательное движение под действием обобщенной возмущающей силы, изменяющейся по гармоническому закону , где — максимальная величина возмущающей силы; — частота изменения силы; — начальная фаза изменения силы.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний получится таким:

Решение этого линейного неоднородного дифференциального уравнения состоит из общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения. Общее решение уже было получено в §2 (см. формулу (20.7) или (20.8)). Частное решение ищем в виде . Подставив частное решение в дифференциальное уравнение (20.15), получим . Отсюда

Значит, полное решение уравнения (20.15)

Так как общее и частное решения совершаются с разными частотами, то вынужденные колебания не будут гармоническими. Но, как нам уже известно, общее решение определяет свободные колебания, которые с течением времени довольно быстро затухают. Поэтому интерес представляют только установившиеся колебания

Отсюда следует, что установившиеся вынужденные колебания будут гармоническими с частотой , равной частоте возмущающей силы, и что они не зависят от начальных условий. И самое интересное — амплитуда колебаний зависит от частоты возмущающей силы. График этой зависимости дан на рис. 20.7.

Первое, что надо отметить, при (частота возмущающей силы равна частоте свободных колебаний) амплитуда увеличивается до бесконечности. Это явление называется резонансом. Как известно из курса высшей математики, при решение (20.17) не будет удовлетворять уравнению (20.15). Частное решение надо искать в другом виде

Подставив его в уравнение (20.15), получим:

Отсюда и частное решение, определяющее вынужденные колебания при резонансе, получится таким:

Видим, что амплитуда колебаний беспредельно равномерно увеличивается (рис. 20.8). Амплитуда не сразу становится бесконечно большой. И даже малая возмущающая сила может раскачать систему до больших амплитуд и вызвать разрушение конструкции.

Интересен еще один случай, при котором частота возмущающей силы близка к частоте свободных колебаний, , но не равна ей.

Воспользуемся решением (20.17), положив для простоты . Пусть в начале движения координата и скорость равнялись нулю (при и ).

Подставим эти начальные условия в уравнения

Получим два уравнения

из которых находим

Тогда уравнение колебаний

Так как

то по формуле (20.16)

Кроме того

Уравнение движения получится таким:

Рассматривая функцию, стоящую перед , как амплитуду колебаний, замечаем, что она изменяется по гармоническому закону с периодом от нуля до максимального значения (рис. 20.9). Сами колебания совершаются с частотой и периодом .

Чем ближе частота возмущающей силы к частоте , то есть чем ближе к резонансу, тем больше будет период амплитуды и больше амплитуда . И тем больше будет похож график на рис. 20.9 на график на рис. 20.8, изображающий колебания при резонансе. Эти колебания с периодически изменяющейся амплитудой называются биениями. Такое явление часто встречается, например, в радиотехнике.

Мы исследовали вынужденные колебания под действием возмущающей силы, изменяющейся по гармоническому закону. Но нередко она оказывается более сложной.

Приходится использовать специальные математические методы, чтобы получить более-менее точный результат.

Если возмущающая сила периодическая и ее можно разложить в ряд Фурье, то решение может оказаться не очень сложным. Пусть возмущающая сила описывается периодической функцией с периодом , — частота изменения этой функции, и конструкция её позволяет разложить функцию в ряд Фурье

где и — коэффициенты Фурье, определяемые по специальным формулам.

Частное решение дифференциального уравнения (20.15) получится в виде ряда

Количество s членов этого ряда стараются иметь не очень большим, если ряд хорошо сходится.

Решение получается как сумма нескольких синусоид («гармоник») с кратными частотами. Наименьшая частота р называется основной частотой. Интересно, что в полученном решении возможно несколько резонансов, столько, сколько гармоник: при и т.д.

Влияние сопротивления на вынужденные колебания

Если учесть сопротивление среды, пропорциональное скорости, как это было сделано в §3, дифференциальное уравнение колебаний получится таким:

Решение его состоит из общего и частного решений. Общее мы уже находили в §3. Например, при малом сопротивлении

Частное решение будем искать в виде

Чтобы определить коэффициенты и , подставим это решение в уравнение (20.21). Получим

(правую часть уравнения (20.21) представили как синус суммы двух углов: ). Полученное уравнение обратится в тождество, если будут выполнены два условия (сгруппировав члены, содержащие и ):

Из этих уравнений получим

Полное решение уравнения (20.21) будет таким:

Очевидно, за счет сопротивления с течением времени первый член стремится к нулю. Поэтому можно заключить, что установившиеся вынужденные колебания и с учетом сопротивления среды будут гармоническими.

Причем, во-первых, частота колебаний равна частоте изменения возмущающей силы; во-вторых, колебания не зависят от начальных условий и, в-третьих, амплитуда колебаний зависит от частоты и от сопротивления среды, характеризующегося коэффициентом .

График этой зависимости от и дан на рис. 20.10. Из графика видно, что при сопротивлении амплитуда колебаний — конечная величина. И максимум амплитуды будет не при , а при несколько меньшей частоте *. Ее можно определить, отыскав максимум амплитуды или лучше минимум функции

Приравняв к нулю производную от этой функции,

найдем эту частоту

И тогда величина максимальной амплитуды, подставив в (20.22),

Эта теория взята со страницы помощи с решением заданий по теоретической механики, там найдёте другие лекции и примеры решения задач или сможете заказать онлайн помощь:

Помощь по теоретической механике

Кстати возможно вам будут полезны эти страницы:

Малые свободные колебания системы

Свободные колебания системы с учетом сил сопротивления движению

Удар в теоретической механике

Прямой центральный удар двух тел