Вынужденные колебания материальной точки в теоретической механике

Оглавление:

Вынужденные колебания материальной точки

Если материальную точку вывести из положения устойчивого равновесия и затем предоставить ее действию только восстанавливающей силы и силы сопротивления, то ее колебания будут постепенно затухать.

Рассмотрим теперь случай, когда на точку во все время ее движения действует еще и периодически изменяющаяся по модулю и направлению сила, называемая возмущающей силой. Возмущающей силой может быть сила, периодически изменяющаяся по любому закону. Мы ограничимся рассмотрением случая, практически наиболее важного, когда возмущающая сила изменяется по гармоническому закону.

По-прежнему примем прямую, вдоль которой движется точка Вынужденные колебания материальной точки , за ось : и положение равновесия этой точки — за начало координат. Пусть на точку (рис. 175) действуют силы: — восстанавливающая сила, модуль которой Вынужденные колебания материальной точки , — сила сопротивления среды, модуль которой , и возмущающая сила , проекция которой на ось изменяется по гармоническому закону

В равенстве (123) Вынужденные колебания материальной точки — амплитуда возмущающей силы, — круговая частота изменения возмущающей силы.

Проекция на ось Вынужденные колебания материальной точки равнодействующей всех сил, действующих на точку :

и дифференциальное уравнение движения этой точки принимает вид

Обозначив

получим неоднородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

Как известно из теории дифференциальных уравнений, общее решение такого уравнения есть сумма двух слагаемых: общего решения Вынужденные колебания материальной точки соответствующего однородного уравнения и частного решения данного неоднородного уравнения:

Общее решение однородного уравнения

при условии, что Вынужденные колебания материальной точки , нами ранее было уже найдено [равенство (121)]:

Ищем частное решение Вынужденные колебания материальной точки неоднородного уравнения (124) в виде

где Вынужденные колебания материальной точки и — некоторые постоянные, которые должны удовлетворять следующему условию: при подстановке выражения (III) в уравнение (124) последнее должно обращаться в тождество.

Вычислим первую и вторую производные по времени от выражения (III):

Подставляя значения (III) и (IV) в уравнение (124), получим:

Обозначим для краткости:

Отсюда Вынужденные колебания материальной точки Подставив эти значения в предыдущее равенство, получим:

Перенося все члены последнего равенства в левую часть и группируя отдельно члены, содержащие Вынужденные колебания материальной точки и , будем иметь:

Последнее равенство должно быть справедливым для любого момента времени и, следовательно, при любых значениях аргумента

Это возможно лишь в том случае, когда коэффициенты при Вынужденные колебания материальной точки и в равенстве (V) будут равны нулю. Отсюда получим следующую систему двух уравнений для определения и :

Переписав эти уравнения в виде

находим

Подставляя найденные решения (II) и (III) в равенство (1), получим общее решение дифференциального уравнения (124):

Входящие в это уравнение постоянные Вынужденные колебания материальной точки и определяются по формулам (125) и (126), постоянные же и определяются по начальным условиям движения точки .

Первый член правой части равенства (127) определяет затухающие колебания точки Вынужденные колебания материальной точки , а второй член — незатухающие гармонические колебания с амплитудой и частотой этой точки, обусловленные действием на нее возмущающей силы Вынужденные колебания материальной точки . Колебания, обусловленные действием на точку возмущающей силы, называются вынужденными.

Как было выяснено ранее (стр. 268), амплитуды затухающих колебаний быстро уменьшаются, стремясь к нулю, и по прошествии некоторого времени, называемого временем установления, с этими колебаниями практически можно не считаться.

Таким образом, по прошествии времени установления движение точки Вынужденные колебания материальной точки будет совершаться по закону:

Уравнение (128) и служит уравнением вынужденных колебаний материальной точки Вынужденные колебания материальной точки под действием на нее восстанавливающей силы , пропорциональной расстоянию, силы сопротивления , пропорциональной первой степени скорости точки, и возмущающей силы Вынужденные колебания материальной точки , изменяющейся по гармоническому закону и при условии, то

Из сравнения равенств (123) и (128) следует, что частота вынужденных колебаний равна частоте Вынужденные колебания материальной точки возмущающей силы. Следовательно, частота и период вынужденных колебаний не зависят ни от массы колебающейся точки, ни от величин коэффициентов Вынужденные колебания материальной точки и в выражениях восстанавливающей силы и силы сопротивления.

Из сравнения тех же равенств следует, что фаза Вынужденные колебания материальной точки — вынужденных колебаний отстает от фазы возмущающей силы на величину , называемую сдвигом фазы и определяемую формулой (125).

Исследуем теперь более подробно влияние сопротивления на амплитуду Вынужденные колебания материальной точки вынужденных колебаний.

Из формулы (126) следует, что амплитуда Вынужденные колебания материальной точки вынужденных колебаний уменьшается с увеличением коэффициента затухания

и, следовательно, с увеличением сопротивления движению точки.

При отсутствии сопротивления Вынужденные колебания материальной точки амплитуда вынужденных колебаний точки равна

Найдем, как изменяется амплитуда

с изменением частоты Вынужденные колебания материальной точки возмущающей силы (при данных значениях

Максимум амплитуды будет соответствовать минимуму функции

Первая производная этой функции

Так как всегда Вынужденные колебания материальной точки , то

Следовательно, при Вынужденные колебания материальной точки функция имеет минимум, а амплитуда — максимум.

Значение частоты возмущающей силы, при котором амплитуда вынужденных колебаний имеет максимальное значение, называется критическим:

Как видно из формулы (130). критическая частота и максимум амплитуды существуют только при значениях коэффициента затухания Вынужденные колебания материальной точки . Если , то при всех значениях частоты возмущающей силы первая производная . Следовательно, при данных значениях с увеличением частоты Вынужденные колебания материальной точки затухающих колебаний функция монотонно возрастает от значения до , а амплитуда колебаний монотонно убывает от значения Вынужденные колебания материальной точки до нуля.

Вынужденные колебания материальной точки представляет собой величину статического отклонения точки от начала координат под действием постоянной силы, равной но модулю наибольшему значению Вынужденные колебания материальной точки возмущающей силы . Модуль восстанавливающей силы при отклонении точки на величину равен . В положении равновесия точки Вынужденные колебания материальной точки должно иметь место равенство , т. е. . Следовательно,

Подставляя критическое значение Вынужденные колебания материальной точки частоты возмещающей силы в формулу (124), будем иметь:

Отношение максимального значения амплитуды Вынужденные колебания материальной точки вынужденных колебаний к величине амплитуды при называется коэффициентом динамичности:

Из формул (131) и (132) следует, что коэффициент динамичности равен

Ниже приводится таблица значений критической частоты Вынужденные колебания материальной точки и коэффициента динамичности для различных значений отношения и построенный по этой таблице график (рис. 176).

Случай, когда частота Вынужденные колебания материальной точки возмущающей силы близка по своему значению к частоте свободных колебаний точки, сопровождающийся значительным увеличением амплитуды вынужденных колебаний, называется резонансом.

Из таблицы и графика видно, что при малом сопротивлении (при малых значениях коэффициента Вынужденные колебания материальной точки затухания) явление резонанса резко выражено, и амплитуда вынужденных колебаний может достигать весьма большой величины даже, при малой возмущающей силе (при малом Вынужденные колебания материальной точки ).

При отсутствии сопротивления и совпадении частоты возмущающей силы с частотой свободных колебаний точки амплитуда вынужденных колебаний неограниченно возрастает, стремясь к бесконечности.

Отношение амплитуды Вынужденные колебания материальной точки вынужденных колебаний при любой их частоте к амплитуде при частоте определяется, как это следует из формул (126) и (131), величиной

Если, пользуясь этим выражением, определить зависимость

для значений

рафики этих функций будут иметь вид, представленный на рис. 177.

Из графиков видно, что:

Если Вынужденные колебания материальной точки , то амплитуда вынужденных колебаний сначала возрастает до величины с увеличением частоты до критического значения , а при дальнейшем увеличении частоты убывает, стремясь к нулю.

Если Вынужденные колебания материальной точки , то при значениях , много меньших или много больших , влияние сопротивления на амплитуду вынужденных колебаний невелико и ее можно вычислять по формулам (129).

Амплитуду Вынужденные колебания материальной точки вынужденных колебаний можно получить сколь угодно малой даже при большой возмущающей силе (при большом значении ), если частота Вынужденные колебания материальной точки возмущающей силы будет много больше частоты свободных колебаний точки.

Пример задачи:

Двигатель весом Вынужденные колебания материальной точки т установлен посредине двух двутавровых балок № 20,6, расположенных параллельно. Длина каждой балки м, концы их свободно лежат на двух опорах. При каком числе оборотов двигателя можно ожидать появления резонанса, т. е. опасных колебаний балок с установленным на них двигателем? Весом балок пренебречь.

Решение:

Вследствие неполной уравновешенности вращающихся частей двигателя на его вал будет действовать центробежная сила Вынужденные колебания материальной точки . При вращении вала проекция этой силы на вертикальную ось (рис. 178) изменяется по закону . При равномерном вращении вала угол его поворота Вынужденные колебания материальной точки и, следовательно, .

Таким образом, при работе двигателя на его вал (и балки) действует возмущающая сила Вынужденные колебания материальной точки изменяющаяся по гармоническому закону. Частота изменения этой силы равна угловой скорости вращения вала.

Как уже говорилось, резонанс наступает при совпадении периодов (а следовательно, и частот) свободных и вынужденных колебаний. Частота свободных колебаний балки

При статическом равновесии балки

откуда

Статический прогиб балок, свободно лежащих на двух опорах и нагруженных определяем по соответствую средние сосредоточенной силой Вынужденные колебания материальной точки , по формуле сопротивления материалов: