Оглавление:
Вычисления определенного интеграла
Формула ньютона-лейбница
Простым и удобным методом вычисления определенного интеграла 
от непрерывной функции является формула Ньютона-Лейбница:
Применяется этот метод во всех случаях, когда может быть найдена первообразная функции 
для подынтегральной функции 
.
Например, 
.
При вычислении определенных интегралов широко используется метод замены переменной и метод интегрирования по частям.
Интегрирование подстановкой (заменой переменной)
Пусть для вычисления интеграла от непрерывной функции сделана подстановка 
.
Теорема 39.1. Если:
1) функция и ее производная 
непрерывны при 
;
2) множеством значений функции при является отрезок 
;
3) 
и 
, то
Пусть есть первообразная для на отрезке . Тогда по формуле Ньютона-Лейбница 
. Так как 
, то 
является первообразной для функции 
. Поэтому по формуле Ньютона-Лейбница имеем
Формула (39.1) называется формулой замены переменной в определенном интеграле.
Отметим, что:
1) при вычислении определенного интеграла методом подстановки возвращаться к старой переменной не требуется;
2) часто вместо подстановки применяют подстановку 
;
3) не следует забывать менять пределы интегрирования при замене переменных!
Пример №39.1.
Вычислить 
.
Решение:
Положим 
, тогда 
. Если 
, то 
; если 
, то 
. Поэтому
Интегрирование по частям
Теорема 39.2. Если функции 
и 
имеют непрерывные производные на отрезке , то имеет место формула
На отрезке имеет место равенстве) 
. Следовательно, функция 
есть первообразная для непрерывной функции 
. Тогда по формуле Ньютона-Лейбница имеем:
Следовательно,
Формула (39.2) называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.
Пример №39.2.
Вычислить 
.
Решение:
Положим
Применяя формулу (39.2), получаем
Дополнительный пример №39.3.
Дополнительная лекция: Интегрирование четных и нечетных функций в симметричных пределах
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
| Геометрический и физический смысл определенного интеграла |
| Основные свойства определенного интеграла |
| Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования |
| Интеграл от разрывной функции |
