Оглавление:
Вычисление площади поверхности вращения
Пусть кривая является графиком функции
, где
, а функция
и ее производная
непрерывны на этом отрезке.
Найдем площадь поверхности, образованной вращением кривой
вокруг оси
.
Применим схему II (метод дифференциала).
1. Через произвольную точку проведем плоскость
, перпендикулярную оси
. Плоскость
пересекает поверхность вращения по окружности с радиусом
(см. рис. 191). Величина
поверхности части фигуры вращения, лежащей левее плоскости, является функцией от
, т.е.
и
.
2. Дадим аргументу приращение
. Через точку
также проведем плоскость, перпендикулярную оси
. Функция
получит приращение
, изображенного на рисунке в виде «пояска».

Найдем дифференциал площади , заменяя образованную между сечениями фигуру усеченным конусом, образующая которого равна
, а радиусы оснований равны
и
. Площадь его боковой поверхности равна
. Отбрасывая произведение
как бесконечно малую высшего порядка, чем
, получаем
, или, так как
, то
.
3. Интегрируя полученное равенство на пределах от до
, получаем

Если кривая задана параметрическими уравнениями
, то формула (41.9) для площади поверхности вращения принимает вид

Пример 41.8.
Найти площадь поверхности шара радиуса .
Решение:
Можно считать, что поверхность шара образована вращением полуокружности , вокруг оси
. По формуле (41.9) находим

Дополнительный пример №41.9.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
Вычисление длины дуги плоской кривой |
Вычисление объема тела |
Работа переменной силы |
Приближенное вычисление определенного интеграла |