Оглавление:
Рассмотрим примеры вычисления площадей плоских фигур с помощью двойного интеграла.
Пример №31.1.
Найдите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями
Решение:
Поскольку геометрически двойной интеграл от единичной функции по области равен площади плоской фигуры, представляющей собой область интегрирования
, будем использовать формулу:
.
В нашем случае областью интегрирования является фигура, ограниченная линиями
Вычислим
.
Для этого построим область интегрирования в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости.

Линии, задаваемые уравнениями , — прямые, параллельные оси
и проходящие соответственно через точки (1;0), (2;0). Линия, задаваемая уравнением
— гипербола, «ветви» которой расположены в I и III координатных четвертях. Гиперболу
можно получить из гиперболы
с помощью растяжения последней вдоль оси ординат в два раза.
Описание линий, задающих область интегрирования , позволяет при ее построении ограничиться I координатной четвертью.
Изображенная на рис. 31.1 область интегрирования является криволинейной областью I типа. Поэтому для вычисления двойного интеграла используем соответствующую формулу сведения его к повторному интегралу:

В нашем случае . Следовательно,
.
Вычислим полученный повторный интеграл:


В итоге, . Следовательно,
.
Ответ: .
Пример №31.2.
Найдите площадь плоской фигуры, ограниченной линиями и
.
Решение:
Плоскую фигуру, ограниченную линиями и
, обозначим
. В силу геометрического смысла двойного интеграла от единичной функции, для нахождения площади
плоской фигуры
будем использовать формулу:
.

Вычислим . Для этого построим фигуру
(рис. 31.2), представляющую собой область интегрирования, в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости.
Линия, задаваемая уравнением — парабола, «ветви» которой направлены вниз. Построим ее с помощью параллельного переноса вдоль оси ординат графика функции
на 3 единицы вверх. Линия, задаваемая уравнением
— прямая. Составим уравнение прямой с угловым коэффициентом:
.
Построим эту прямую по двум точкам:

Изображенная на рис. 31.2. область интегрирования является криволинейной областью I типа. Поэтому для вычисления двойного интеграла используем соответствующую формулу сведения его к повторному интегралу:
В нашем случае . Найдем
и
как абсциссы точек пересечения линий
и
. Для этого решим уравнение
. Корни приведенного квадратного уравнения
найдем по теореме, обратной теореме Виета:
или
. Следовательно,
. Таким образом,
. Вычислим полученный повторный интеграл:



В итоге, . Следовательно,
.
Ответ: .
Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:
Вычисление объемов геометрических тел с помощью двойного интеграла. |
Геометрический смысл двойного интеграла от единичной функции. |
Определение числового ряда. |
Свойства числовых рядов. |