Оглавление:
Вычисление определенных интегралов
Разложение функций в степенные ряды дает инструмент, позволяющий весьма эффективно вычислить приближенные значения определенных интегралов, в том числе и так называемых «неберущихся». При вычислении значения определенного интеграла от функции , в случае, если
разлагается в ряд Маклорена, ее разложение можно интегрировать почленно внутри интервала сходимости. С ростом числа членов, учитываемых в разложении функции
, ошибка интегрирования снижается, а точность — возрастает.
Если в точке
представляет собой знакочередующийся ряд, удовлетворяющий признаку Лейбница, то погрешность
приближенного значения
не превышает по абсолютной величине модуля первого отброшенного члена:

Пример:
Вычислить указанный определенный интеграл с точностью до 0,001 с помощью разложения подынтегральной функции в степенной ряд

► Выполним разложение подынтегральной функции в ряд Маклорена с помощью замены переменной в разложении табличной функции
(см. приложение В. 13):

Интегрируя обе части полученного равенства на отрезке лежащем внутри интервала сходимости
, получим:

Получаем знакочередующийся числовой ряд, удовлетворяющий признаку Лейбница, а так как < 0,001, то с точностью до 0,001 имеем:

Этот материал взят со страницы заказа помощи по математике, там можно заказать помощь и ознакомиться с краткой теорией по предмету математика:
Возможно эти страницы вам будут полезны:
Функциональные и степенные ряды в математике |
Ряды Тейлора и Маклорена в математике |
Решение дифференциальных уравнений при помощи степенных рядов |
Матрица в математике |