Оглавление:
Вычисление криволинейного интеграла I рода
Вычисление криволинейного интеграла I рода может быть сведено к вычислению определенного интеграла. Приведем без доказательств правила вычисления криволинейного интеграла I рода в случаях, если кривая 
задана параметрическим, полярным и явным образом.
Параметрическое представление кривой интегрирования
Если кривая 
задана параметрическими уравнениями 
, 
, где 
и 
— непрерывно дифференцируемые функции параметра 
, причем точке 
соответствует 
, точке 
— значение 
, то
Аналогичная формула имеет место для криволинейного интеграла от функции 
по пространственной кривой , задаваемой уравнениями 
:
Явное представление кривой интегрирования
Если кривая задана уравнением 
, где 
— непрерывно дифференцируемая функция, то
Подынтегральное выражение в правой части формулы (55.5) получается заменой в левой части 
и 
(дифференциал дуги кривой — см. п. 41.3).
Пример №55.1.
Вычислить 
, где — отрезок прямой между точками 
и 
.
Решение:
Уравнение прямой 
есть 
. Согласно формуле (55.5), имеем:
Полярное представление кривой интегрирования
Если плоская кривая задана уравнением 
в полярных координатах, то 
и
Подчеркнем, что нижний предел определенного интеграла в формулах (55.3)-(55.6) должен быть меньше верхнего.
Пример №55.2.
Вычислить 
, где — лепесток лемнискаты 
расположенной в I координатном углу.
Решение:
Кривая интегрирования изображена на рисунке 234. Воспользуемся формулой (55.6). Так как
то, заметив, что 
, получаем:
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
