Оглавление:
Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
Покажем, что вычисление двойного интеграла сводится к последовательному вычислению двух определенных интегралов.
Пусть требуется вычислить двойной интеграл 
, где функция 
непрерывна в области 
. Тогда, как это было показано в п. 53.2, двойной интеграл выражает объем цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью 
. Найдем этот объем, используя метод параллельных сечений. Ранее (см. (41.6)) было показано, что
где 
— площадь сечения плоскостью, перпендикулярной оси 
, а 
— уравнения плоскостей, ограничивающих данное тело.
Положим сначала, что область D представляет собой криволинейную трапецию, ограниченную прямыми 
и 
и кривыми 
и 
, причем функции 
и 
непрерывны и таковы, что 
для всех 
(см. рис. 218). Такая область называется правильной в направлении оси 
: любая прямая, параллельная оси , пересекает границу области не более чем в двух точках.
Построим сечение цилиндрического тела плоскостью, перпендикулярной оси 
, где .
В сечении получим криволинейную трапецию 
, ограниченную линиями , где 
и (см. рис. 219).
Площадь этой трапеции находим с помощью определенного интеграла
Теперь, согласно методу параллельных сечений, искомый объем цилиндрического тела может быть найден так:
С другой стороны, в п. 53.2 было доказано, что объем цилиндрического тела определяется как двойной интеграл от функции по области . Следовательно,
Это равенство обычно записывается в виде
Формула (53.7) представляет собой способ вычисления двойного интеграла в декартовых координатах. Правую часть формулы (53.7) называют двукратным (или повторным) интегралом от функции 
по области . При этом 
называется внутренним, интегралом.
Для вычисления двукратного интеграла сначала берем внутренний интеграл, считая 
постоянным, затем берем внешний интеграл, т. е. результат первого интегрирования интегрируем по в пределах от 
до 
.
Если же область ограничена прямыми 
и 
, кривыми 
и 
, причем 
для всех 
, т. е. область — правильная в направлении оси , то, рассекая тело плоскостью 
, аналогично получим:
Здесь, при вычислении внутреннего интеграла, считаем 
постоянным.
Замечания.
- Формулы (53.7) и (53.8) справедливы и в случае, когда
, 
. - Если область правильная в обоих направлениях, то двойной интеграл можно вычислять как по формуле (53.7), так и по формуле (53.8).
- Если область не является правильной ни «по », ни «по », то для сведения двойного интеграла к повторным ее следует разбить на части, правильные в направлении оси или оси .
- Полезно помнить, что внешние пределы в двукратном интеграле всегда постоянны, а внутренние, как правило, переменные.
Пример №53.1.
Вычислить 
, где область ограничена линиями 
.
Решение:
На рисунке 220 изображена область интегрирования . Она правильная в направлении оси . Для вычисления данного двойного интеграла воспользуемся формулой (53.8):
Отметим, что для вычисления данного двойного интеграла можно воспользоваться формулой (53.7). Но для этого область следует разбить на две области: 
и 
. Получаем:
Ответ, разумеется, один и тот же.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
| Объем цилиндрического тела |
| Масса плоской пластинки |
| Вычисление двойного интеграла в полярных координатах |
| Приложения двойного интеграла |
