Оглавление:
Двойной интеграл вычисляется путем сведения его к повторному с применением соответствующей формулы. Вид формулы, по которой осуществляется сведение, зависит от типа области интегрирования. Различают три типа области интегрирования: прямоугольную, криволинейную I типа и криволинейную II типа. Поэтому при вычислении двойного интеграла возникают три ситуации. Рассмотрим их, опуская собственно вывод формул
сведения двойного интеграла к повторному.

1. Область интегрирования на плоскости
является прямоугольной. т.е. ограничена прямыми
, причем
(рис. 29.2.). В этом случае формула сведения двойного интеграла к повторному имеет вид:


2. Область интегрирования на плоскости
является криволинейной областью I типа, т.е. ограничена снизу и сверху непрерывными кривыми и
, а слева и справа -отрезками прямых
и
так, что любая прямая, параллельная оси
и проходящая внутри отрезка
пересекает границу области (кривые
и
) в двух точках (рис 29.3.).
В этом случае формула сведения двойного интеграла к повторному имеет вид:


3. Область интегрирования на плоскости
является криволинейной областью II типа, т.е. ограничена слева и справа непрерывными кривыми
и
, а снизу и сверху — отрезками прямых
и
так, что любая прямая, параллельная оси
и проходящая внутри отрезка
, пересекает границу области (кривые
и
) в двух точках (рис. 29.4.). В этом случае формула сведения двойного интеграла к повторному имеет вид:

Таким образом, при вычислении двойных интегралов удобно использовать следующий алгоритм:
- Построить область интегрирования в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости (исключением может быть случай прямоугольной области).
- Определить тип области и в соответствии с ним составить формулу сведения двойного интеграла к повторному.
- Вычислить полученный повторный интеграл.
Рассмотрим примеры вычисления двойных интегралов.
Пример №29.2.
Вычислите двойной интеграл
по прямоугольной области , ограниченной прямыми
.
Решение:
1.Область интегрирования является прямоугольной. Для вычисления двойного интеграла используем соответствующую формулу сведения его к повторному интегралу:

В нашем случае . Следовательно,

2. Вычислим полученный повторный интеграл:




Таким образом, окончательно имеем:

Этот двойной интеграл по прямоугольной области можно вычислить также использованием формулы

Тогда .
Ответ:
Пример №29.3.
Вычислите двойной интеграл по области
, ограниченной линиями
и
.

Решение:
1) Построим область интегрирования в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости (рис. 29.5.). Линия, задаваемая уравнением
, — прямая, являющаяся биссектрисой I и III координатных углов.
Линия, задаваемая уравнением , — прямая. Построим ее по двум точкам:

Линия, задаваемая уравнением , — прямая, параллельная оси
и проходящая через точку (1; 0).
В итоге, область интегрирования обозначена на рис. 29.5. штриховкой.
2) Область интегрирования является криволинейной областью I типа. Для вычисления двойного интеграла используем соответствующую формулу сведения его к повторному интегралу:

В нашем случае . Следовательно,

3) Вычислим полученный повторный интеграл:




Таким образом, окончательно имеем:

Ответ:
Пример №29.4.
Вычислите двойной интеграл по области
, ограниченной линиями
.

Решение:
1) Построим область интегрирования в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости. Линия, задаваемая уравнением
, — парабола с вершиной в начале координат, «ветви» которой направлены вверх. Линия, задаваемая уравнением
, — ось абсцисс. Линия, задаваемая уравнением
, — прямая. Построим ее по двум точкам:

В итоге, область интегрирования обозначена на рис. 29.6. штриховкой.
2) Область интегрирования является криволинейной областью II типа. Для вычисления двойного интеграла используем соответствующую формулу сведения его к повторному интегралу:

В нашем случае очевидно . Найдем
как ординату точки пересечения графиков функций
и
в первой координатной четверти. Предварительно вычислим абсциссу точки пересечения графиков, решив уравнение
. По теореме, обратной теореме Виста для приведенного квадратного уравнения
, получим корни
. В первой координатной четверти находится точка с абсциссой
. Ее ординату найдем, подставляя
в уравнение
. Отсюда
.
Выражая из уравнений
и
, получим соответственно
и
. Так,
. Следовательно,
.
3) Вычислим полученный повторный интеграл:






Таким образом, окончательно имеем:

Ответ:
Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:
Свойства двойных интегралов. |
Понятие повторного интеграла. |
Геометрический смысл двойного интеграла. |
Вычисление объемов геометрических тел с помощью двойного интеграла. |