Оглавление:
Вычисление длины дуги плоской кривой
Прямоугольные координаты
Пусть в прямоугольных координатах дана плоская кривая 
, уравнение которой 
, где 
.
Под длиной дуги понимается предел, к которому стремится длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего звена ее стремится к нулю.
Покажем, что если функция и ее производная 
непрерывны на отрезке 
, то кривая имеет длину, равную
Применим схему I (метод сумм).
1. Точками 
разобьем отрезок на 
частей (см. рис. 182). Пусть этим точкам соответствуют точки 
на кривой . Проведем хорды 
, длины которых обозначим соответственно через 
. Получим ломаную 
длина которой равна 
.
2. Длину хорды (или звена ломаной) 
можно найти по теореме Пифагора из треугольника, с катетами 
и 
:
где 
. По теореме Лагранжа о конечном приращении функции 
, где 
. Поэтому
а длина всей ломаной 
равна
3. Длина 
кривой , но определению, равна
Заметим, что при 
также и 
и, следовательно, 
. Функция 
непрерывна на отрезке , так как, по условию, непрерывна функция 
. Следовательно, существует предел интегральной суммы (41.4), когда 
:
Таким образом, 
, или в сокращенной записи 
.
Если уравнение кривой задано в параметрической форме
где 
и 
— непрерывные функции с непрерывными производными и 
, 
, то длина кривой находится по формуле
Формула (41.5) может быть получена из формулы (41.3) подстановкой 
.
Пример №41.4.
Найти длину окружности радиуса 
.
Решение:
Найдем 
часть ее длины от точки 
до точки 
(см. рис. 183). Так как 
, то
Значит, 
. Если уравнение окружности записать в параметрическом виде 
, то
Вычисление длины дуги может быть основано на применении метода дифференциала. Покажем, как можно получить формулу (41.3), применив схему II (метод дифференциала).
1. Возьмем произвольное значение 
и рассмотрим переменный отрезок 
. На нем величина становится функцией от 
, т. е. 
и 
.
2. Находим дифференциал 
функции 
при изменении на малую величину 
. Найдем 
, заменяя бесконечно малую дугу 
хордой 
, стягивающей эту дугу (см. рис. 184):
Стало быть, 
.
3. Интегрируя в пределах от 
до 
, получаем 
.
Равенство 
называется формулой дифференциала дуги в прямоугольных координатах.
Так как 
, то
Последняя формула представляет собой теорему Пифагора для бесконечно малого треугольника 
(см. рис. 185).
Полярные координаты
Пусть кривая задана уравнением в полярных координатах 
, 
. Предположим, что 
и 
непрерывны на отрезке 
.
Если в равенствах 
, связывающих полярные и декартовы координаты, параметром считать угол 
, то кривую
можно задать параметрически 
Тогда
Поэтому
Применяя формулу (41.5), получаем
Пример №41.5.
Найти длину кардиоиды 
.
Решение:
Кардиоида имеет вид, изображенный на рисунке 186. Она симметрична относительно полярной оси. Найдем половину длины кардиоиды:
Таким образом, 
. Значит, 
.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
| Схемы применения определенного интеграла |
| Вычисление площадей плоских фигур |
| Вычисление объема тела |
| Вычисление площади поверхности вращения |
