Вычисление производных неявных функций

Оглавление:

Вычисление производных неявных функций

Вычисление производной неявной функции. Процесс рассуждения, в ходе которого была установлена теорема о существовании неявных функций, сделал невозможным представление о самих функциях неявных функций s n O s o b e V s h и s l e n и I производных

(первичных) высших производных. Теперь мы сосредоточимся конкретно на этих важных вопросах. Начнем с самого простого случая, когда дано уравнение(1). Будем считать выполненным,

в окрестности рассматриваемой точки, условие теоремы 1; важную Людмила Фирмаль

роль в дальнейшем будет играть наиболее неявная функция y от x и ее производные x как уже в n°141,4|P’x (x, y)+Ru (x, y)•u’x-O, (15) уже известное выражение(4) * Px (x, y) Y R’ (x, y, y) Теперь вы можете идти дальше. Если функция P(x,y)имеет непрерывную производную в порядке t o o g o, то выражение в правой Формуле (4)может быть

дифференцировано по x, поэтому производная от x, то есть производная от неявной функции y, может быть дифференцирована по x.: «+Ру*-Л• * Р х ‘-(р х * +р’ ху-у ‘ Х) * р у Ух ты!* = —— =——- ————— го————- — ————-= Около 2Р х * р у * р х п л ю * Р х^у-р х ‘ ру. =g / 8 9 Р у Таким образом, мы видим, что квадратичная производная становится непрерывной функцией X. И, очевидно, существуют также производные неявной функции y ‘hg, выражение которой

можно получить снова, непосредственно дифференцируя выражение y’2. С помощью математической индукции существование непрерывной производной функции P (x, y) для K-й степени (y>1) определяется наличием (непрерывной) производной K-й степени от неявной функции. Итак, после установления факта существования последовательных производных отрицательной функции их вычисление осуществляется путем повторной дифференцировки тождества (15) с учетом функциональных детерминант. Например,

первая производная этого тождества даст нам L * 2+Hu * UX «B’HU» B^2 ‘UX)’ UX N ‘ Ru * U X — — — откуда (все R’u f O!) Y x подставим это выражение (4) и вернемся к выражению, уже найденному в y » 2. П ри м ЕР. 1) относиться Y на х по уравнению 1П/Х2+у=АГС(§ Непрерывно дифференцируется по X(и рассматривает y как функцию x）、 Затем 1+У2+д’ «= Ху»;. . Из первого уравнения Это выглядит так:) И так далее. Ситуация аналогична случаю формулы (5) y, 2)=0. Здесь мы предполагаем, что условия теоремы 2 выполнены. Если G понимается как неявная функция, определенная этим уравнением, то она превращается в тождество, которое может быть различено как x, так и Y. (Второе равенство,

по сути, уже получило такую же технологию в процессе доказательства теоремы 3.Третье, если Людмила Фирмаль

функция P имеет вторую непрерывную производную. . . Все это аналогично описанному выше относительно уравнения (1). Если вам нужно АР производной, первый, второй. . . Порядок проще вычислить Y-g сразу. . . Мы различаем нашу тождественность полной м о б р А З О М,то есть приравниваем полный дифференциал от его левой части к нулю с отрицательной функцией 193. Так что это Д-р д-р АГ=_d^а-х — ^а-г. Dн. В то же время Учитывая произвол DH y du, это понятно*） * ) Равенство a d x — \ — V du=AG d x V ‘для любого значения DX и du, оно будет иметь место только в том случае, если A=A’и B=B’. Д Г dh_DHH д ч~Д ‘ 1DH Д-р д х Ду Ду ДТ ‘ ^д Как мы поднялись выше. И еще раз、

DH. d2p у Когда вы определяете D2 и D2, это выражение, такое как D2X D2X D2X D2’DX du’DU2′. В этих расчетах главные роли играют: П ри м ЕР. 2) отрицательная функция x от x, y определяется по формуле d H2] DU2, DH2. х d2h по А2+ Последовательно. DH=s2h — — — — — — DH — a2x c2u x DH А2 | 1В2 1 x DH C2 = 0, Так что это Dh_s2u S2H a2h ДХ ДХ ‘ ду~~ ~ ВФС л Затем Где использовать уже известную формулу для DX}d×2 А2 2HU ‘ a2j2194 глава XIX. Функциональные детерминанты Что нам подарить d2g DH2 х * Ху a2y22 * 1 И так далее. Далее рассмотрим

систему уравнений (8): P (>Y>g)=O, o (x, y, 2)=0. Теорема 3 предполагает, что условие выполняется в окрестности взятой точки. Опять же, мы обращаем внимание на роли, которые выполняют требования t^O. Мы знаем, что неявные функции y и 2 из x имеют больше производных, чем x. Например, дифференцирование по x дает D R1Dr a u1Dr DH1du Ah1DG Yes, потому что большинство S h и l e n I e идентифицируются из (8) и (2) для понимания вышеупомянутой неявной функции. Да ‘+I ‘=0, x+y y++II ‘ =0, x2+и 2i,=0 Предположим, что определитель 1 1 1 У2 и У2 22I2=(г-г) (Я-Г) (Я-Г) Не равны нулю, поэтому мы _(2-x) (I-x)-(g-y) (I—y) Y и т. д.

Неявная функция от нескольких переменных	Площадь поверхности, заданной явным уравнением
Определение неявных функций из системы уравнений	Площадь поверхности в общем случае.