Вычисление интегралов с помощью искусственных приемов

Оглавление:

Вычисление интегралов с помощью искусственных приемов

Вычисление интегралов по искусственной технологии. Соответствующая примитивная функция не представлена здесь в окончательном виде и не может быть использована. Все эти интегралы были известны математикам XVIII века(в частности,

Эйлеру), но точного вывода не было. Г. поставим задачу вычисления интеграла от себя Два. 1P81P×(1Х, Мы уже убедились, что[n°291]. Этот расчет основан на использовании подстановки переменных. У нас есть x=2^: /=2 1P81P21(11= TS7S ТС Т. Т. Т. Приведем его к виду — — — — — подставляя в последний Интеграл 7С Два» 2u1p81pnb?»

Итак, в конце концов, чтобы решить, мы получаем:- т. 7= — ^ — •1P2+2/, где/== — ^ — 1p2 Людмила Фирмаль

. 2°. Обратимся к исчислению интегралов Ноль ноль К=Е~H2YH, о» В теории вероятностей). Для этого мы сначала докажем некоторые неравенства. С помощью обычного метода дифференциального исчисления легко установить при^=0, что функция(1+0)~достигает максимального значения 1. Итак, для 0 это будет (1+0^<1). Предполагая, что здесь 1=+x\мы получаем Откуда *) (X>1) для e~x~0), а во-вторых, учитывая x>>0, возведем все эти выражения в степень натурального показателя N. *) Один. (00) интегрируем первое

неравенство в интервале от 0 до 1, а от второго-от 0 до OO, получим 1-1 (1-x2) » о< ООО е~п х ~ ах<е ~ п х ~ Ах<о ООО да. (1+х Т’ Но И напоследок, ООО С Е ~ П Х ~ Х= Четыре. Один. Ноль ноль С 3(1+^G Отчет * Заменять Те-Т S8P2L+1 I & Отчет те»2 Я 81p2l_2 я А1 Отчет Я=у п-х), 2р!1-(2p4-1) 1! (Заменить x = pop 0 (2Р-3)!! TS(2P-2) 1! ‘2 (заменить x=C) 0. Они Два.* Ноль. Его посадили в тюрьму. Здесь мы использовали хорошо известную формулу[N°187, (5)]. Таким образом, полученное значение K может находиться между следующими двумя выражениями:

Семнадцать. — 2Р!! «(2lg-3) 11TS(2p4-1) 11\2П-2) 112 дальсо, квадрат и преобразуем:Р G2tg!1 i 2’1 литр Из уравнения Уоллиса[n°188]: — Г2я!! G1 2_D t OO1(2″ — 1)11] ‘ 2 » + 1 Для неравенства N o l o f и t e l L N s m и членов допускается возвышение до естественной степени.134 глава XVII. неправильный Интеграл[293 вы можете легко видеть, так как оба крайних выражения n — >OO стремятся к одному и тому же пределу, No= — ^ — I (Так Как/S>0). 3°. Наконец, рассмотрим Интеграл 0, 0. Мы уже знаем, что сходимость [n°287]. Определение этого несобственного интеграла Но Т5 . И 81P x. Б=я — — — — — — — ух А — * с o3x о

Интерпретировать»[n°32]на языке последовательности, то, в частности、 С другой стороны, вместо суммы бесконечных рядов Л2 Л о компании s Л П » 2 Д==к(^-^<1х. Вы можете искать ограничения последовательности в[n°234 Zl2 с Л zl2 с-Л-2 5 + ю+-‘ О Л Л Л л т Л Окончательно -2, У V=O L — Тонны. 2P. полагаться на-1 и назначение соответственно 81P h1———-( 1 X Икс Положить под № 2П.Или L=рот -] — ^И Л и * = рот-мы: (2Р.- Р О-Д у О2(1-2) — И 2P I I I /»‘- ‘И YY- (2C-1) 0293]§3. Преобразование и расчет 135 И так оно и есть.

В интервале 0 я сходлюсь п а к н о м е р н о. ООО 1VI1 Умножая все это-и эту возможность-U — — — — — — — — сходятся рядом G ‘ 1—4 Члены общества Людмила Фирмаль

функции 81p в о ч л е н о к интеграции. Это дает вам право описать выражение В B в виде: te2OO О компании*1 Как мы увидим позже[n°406,3), замечание], выражение p A b n o p R e d s t A B l I в скобках представляет собой так называемую «простую факторизацию» этой функции. Уже принимая этот факт, а не доказывая прямо сейчас, мы, наконец, получаем искомые интегралы Этот изящный вывод принадлежит Лобачевскому, и Лобачевский первым обратил внимание на слабость методики, по которой ранее вычислялся этот важный Интеграл. На самом деле Лобачевский своим Методом даже получил общую формулу: Те, у кого 2 В

предположении/(x+TS)=/(x) и/(t s-x)=/(x); если мыслимо/(x)=1.136 глава XVII.неправильный Интеграл[293 Полученные результаты являются、 -При>0, П=0, — в<0. При a>0 Этот Интеграл сводится к B простой подстановкой x=A1\изменение знака сопровождается изменением знака интеграла, а при a-O уравнение до нуля интеграла Не понятно. Это простое наблюдение, принадлежащее Фурье, произвело сильное впечатление на современников:функции а выражались по-разному в разных значениях этой переменной и в то же время в одном «аналитическом выражении» [ср. под № 18, 3°и № 422 и 423].

Интегрирование по частям в случае несобственных интегралов.	Постановка задачи
Замена переменных в несобственных интегралах	Пример Шварца