Второй метод Ляпунова

Второй метод Ляпунова

• Система дифференциальных уравнений возмущающего движения обозначается через A — X. Только если функция X не является явной, в зависимости от времени. В этом случае движение без возмущений называется стационарным. Под X необходимо понимать обобщенные координаты и обобщенную скорость системы. Они играют ту же роль в вопросах стабильности. В некоторых районах E A 1, 2, n функция X непрерывна и принимает единственное решение для каждого набора начальных условий. Где e-положительное число, которое достаточно мало.

Уравнение возмущающего движения 1 в большинстве случаев нелинейно и не может быть интегрировано в замкнутом виде с этой точки зрения Ляпунов предложил качественный метод исследования устойчивости движения. Используя этот метод, можно ответить на вопрос об устойчивости непертурбативного движения системы без интегрирования дифференциальных уравнений возмущения. 2-й метод Ляпунова основан на изучении некоторых функций. В ХХ…. маштаб XJ, 2 Она называется функцией Ляпунова. Предположим, что эти функции являются однозначными, имеют непрерывные частные производные и исчезают с Xj.

Объемными называются силы, которые действуют па все частицы жидкости, расположенные как внутри, так и на поверхности рассматриваемого объема (например, силы тяжести частиц жидкости). Людмила Фирмаль

Он принимает только 1 конкретный знак положительный или отрицательный значение и только уходит, когда xx 2 Функция V xlt …, X, Y называется константой положительной или отрицательной, если в области 3 она может принимать значение только определенного знака 1, но X1. ХД 0. 3 функция V Xi,…. x называется попеременно, если он может принимать как положительные, так и отрицательные значения в области 3. Общих критериев отнесения функций Ляпунова к какому-либо из вышеперечисленных типов нет, но можно сформулировать определенные теоремы. Fak. 1 форма нечетного порядка является знакопеременной функцией. 

Если форма квадратична, то, согласно теореме Силвестра, необходимо и достаточно, чтобы все основные миноры этого дискриминанта были положительными, чтобы квадратичная форма была явно положительной см. 1 в этой главе. 3 Знак детерминированный или знакопеременный в однородной форме остается неизменным даже при добавлении произвольной формы той же переменной и той же степени с достаточно малым коэффициентом. 4 Если функция не содержит всех координат, то знак не может быть уточнен. Такие функции заместителя или заместителей.

• Достаточно малое значение Х члена более высокого порядка не учитывается, если целое самого низкого порядка в разложении аналитической функции может определить знак детерминизма или альтернативности этих функций. Если все предложение самого низкого порядка в разложении функции анализа может установить, что последнее является постоянным знаком, то детерминизм знака или вариация Диако разрешаются путем рассмотрения членов более высокого порядка. Производная по времени функции Ляпунова принимает вид К этому выражению Вводя значение производной jf , находим полную производную функции Ляпунова, которая состоит из уравнений возмущающего движения. 

Приступим к формулировке основной теоремы 2-го метода Ляпунова об устойчивости и неустойчивости движения. Теорема А. для дифференциального уравнения движения возмущения определитель знака Y x,… …полная производная по времени, составленная этими уравнениями, является постоянной функцией, противоположной знаку V, или если эта производная вообще исчезает, то движение без возмущения устойчиво. Теорема B. функция кодетерминации V xlt … …если, xn можно найти, то полная производная по времени, синтезированная благодаря этим уравнениям, является знаковой детерминированной функцией обратного кода, и в случае K непертурбативное движение будет асимптотически устойчивым. Теорема Б.

Определить скорость клина В в момент, когда груз А начал двигаться по наклонной плоскости клипа с относительной скоростью и. Людмила Фирмаль

Для дифференциального уравнения возмущающего движения функция Y xb …. если его полная производная по времени, синтезируемая этими уравнениями, является функцией знака постоянного значения, а сама функция V может принимать значение в противоположном знаке Двид, то движение без возмущения неустойчиво. Задача 18.63.Приведена система дифференциальных уравнений возмущающего движения — г — — ax3 ды ДТ ж СУ 3. О Определить устойчивость конкретного решения x y 0.Решение.

Настройте функцию Ляпунова в следующем формате 2 Производная по времени этой функции Замените производные dx dt и dy dt значениями Формулы 1.И затем… х в—J топор х дя а Х4. 3 в случае a 0 функция Ляпунова 2 и ее полная производная по времени 3 являются детерминированными однозначно положительными из одного и того же sign. So, согласно теореме B, движение без возмущения x 0, y 0 неустойчиво.

Если 0, то функция Ляпунова 2 и ее полная производная по времени 3 будут являться функцией определения знака обратного кода. Согласно теореме B, некоторые решения асимптотически устойчивы. если a 0, то уравнение возмущенного движения принимает вид Первое выражение этих выражений дифференцируется по времени с учетом 2-го выражения С — о. Точно так же Отсюда л а со, у грех Ф Ц. Таким образом, при a 0 движение стабильно. Систему 4 можно рассматривать как линеаризованную систему уравнений 1. в этом случае ответ, полученный о линеаризованной системе, не совпадает с правильным ответом, полученным о исходной системе.

Смотрите также:

Предмет теоретическая механика

Устойчивость движения по первому приближению	Преобразование Лапласа
Устойчивость движения при наличии гироскопических сил	Основные свойства преобразования Лапласа