Оглавление:
Возрастание и убывание функций
- Функция увеличения и уменьшения ■> Одно из применений производных — для изучения функций и построения графиков функций. Установить необходимые и достаточные условия для увеличения и уменьшения функций. Теорема 1 (требование). Когда дифференцируемая функция f (x) увеличивается (уменьшается) в интервале (a; b), / ‘() ^ 0 (/ «() <0) по отношению к Vx € (a; 6). Увеличьте M-функцию f (x) в интервале (a; 6). Возьмем любую точку x и .m + Dx через интервалы (a; b) и рассмотрим соотношение
^ ^ = = е11, потому что функция f [x] увеличивается, Ax> 0, тогда x + Ax> x и f (x + Ax)> f (x), если Ax <0, x-fAx ^ Это потому, что дробный числитель и знаменатель имеют один и тот же знак. ►J v; & Z- + 0 Ач То же самое применимо, когда функция f (x) уменьшается с интервалами (a; b).
По условию теоремы функция / (x) имеет производную в точке x и является пределом рассматриваемого соотношения. так f ‘() = lim / ( + *) — / () »0. Людмила Фирмаль
Геометрически теорема 1 означает, что касательная графика возрастающей дифференцируемой функции образует острый угол в нескольких точках (x0 на рисунке), которые положительны или параллельны оси Ox. вы. Теорема 2 (достаточное условие). Если функция f (x) дифференцируема в интервале (o; b) и зафиксирована)> 0 (f ′ (x) <0) равно Vx 6 (a; b), функция находится в интервале (a; b ) Будет увеличиваться (уменьшаться) <4. Пусть f ‘(x)> 0. Кроме того, возьмите точки x1 и xb из интервала (a; b) и сделайте Xi 0, X2-x > 0. Следовательно, f (x2) -Dxi)> 0 или f (x2)> f (xi), то есть интервал (функция f (x); B of a) увеличивается. ►
| Правило Лопиталя | Максимум и минимум функций |
| Раскрытие неопределенностей различных видов | Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке |
Примеры решения и задачи с методическими указаниями
| Решение задач | Лекции |
| Сборник и задачник | Учебник |
- Теоремы 1 и 2, рассмотренные выше, позволяют очень легко исследовать монотонные функции. Помните, что функция, которая увеличивается или уменьшается, называется монотонной. Интервал, на котором эта функция увеличивается или уменьшается, называется монотонным интервалом.
Пример. Проверьте функцию f (x) = x3-3x-4 и увеличьте / уменьшите ее. ♦ Функция определяется с помощью R = (-oo; oo) 1. Его производная равна } ‘(X) = 3×2-3 = 3 (x-1) (l; 1); f [x)> 0 дляχe (-∞; -1) U (1; ∞); /’ (ψ) <0 При х € (-1; 1). Ответ: эта функция увеличивается с интервалами (-oo; -1) и (1; oo).
Уменьшается с интервалами (-1; 1). ♦ Людмила Фирмаль
