Оглавление:
Возрастание и убывание функций
Одним из приложений производной является ее применение к исследованию функций и построению графика функции.
Установим необходимые и достаточные условия возрастания и убывания функции.
Теорема 25.6 (необходимые условия). Если дифференцируемая на интервале функция
возрастает (убывает), то
для
.
Пусть функция возрастает на интервале
. Возьмем произвольные точки
и
на интервале
и рассмотрим отношение
. Функция
возрастает, поэтому если
, то
и
; если
, то
и
. В обоих случаях
, так как числитель и знаменатель дроби имеют одинаковые знаки. По условию теоремы функция
имеет производную в точке
и является пределом рассматриваемого отношения. Следовательно,


Аналогично рассматривается случай, когда функция убывает на интервале
.
Геометрически теорема 25.6 означает, что касательные к графику возрастающей дифференцируемой функции образуют острые углы с положительным направлением оси или в некоторых точках (на рисунке 145 в точке с абсциссой
) параллельны оси
.
Теорема 25.7 (достаточные условия). Если функция дифференцируема на интервале
и
для
, то эта функция возрастает (убывает) на интервале
.
Пусть . Возьмем точки
и
из интервала
, причем
. Применим к отрезку
теорему Лагранжа:
, где
. По условию
. Следовательно,
или
, т. е. функция
на интервале
возрастает.
Рассмотренные теоремы 25.6 и 25.7 позволяют довольно просто исследовать функцию на монотонность. Напомним, что функция возрастающая или убывающая называется монотонной (см. с. 122).
Пример №25.8.
Исследовать функцию на возрастание и убывание.
Решение:
Функция определена на . Ее производная равна:

Ответ: данная функция возрастает на интервалах и
; убывает на интервале (—1; 1).
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
Дифференциалы высших порядков |
Теоремы о дифференцируемых функциях |
Максимум и минимум функций |
Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке |