Оглавление:
Волновые функции частиц с произвольным спином
- Волновая функция частиц с произвольным спином Так как мы разработали официальную алгебру спинора любого ранга, Мы можем приступить к нашему непосредственному испытанию Характеристики волновой функции частиц с произвольным спином. Полезно подойти к этому вопросу при рассмотрении общности. N частиц с 1/2 спина.
- Максимально возможное значение. Полная составляющая спина системы равна n / 2, что Sz = 1/2 для каждой частицы (все спины Между тем — по оси Z). В этом случае это может быть обсуждено Общий спин S системы равен n / 2. §57В Л Н О В Ы Ё Ё Ф К Н К И С Ш И Т А Т И К С П Р С О Р С Т Ч Ш Э Ю Я СПИН О.М. 263 Все составляющие волновой функции системы φ (σ1, <7 2, •••, & n) Частицы равны нулю за исключением одного m> (1/2, 1/2, …, 1/2).
Если вы пишете волновую функцию в виде Произведение n спинолов. Людмила Фирмаль
Каждый из них отн Если прикреплены к одной из частиц, они отличаются друг от друга Следовательно, только компоненты с Λ, µ, … = 1 Продукт Φ1 (только p1, но весь Некоторые из этих произведений представляют собой спиннер N-й ранг, симметричный по всем показателям. если Преобразовать систему координат (за глазами не ориентированы вдоль оси z) Спинор n-го ранга в общем виде, но все же симметричный.
В основном, спиновые характеристики волновых функций Свойства, связанные с вращением системы координат, То же самое для частиц со спином s в системе с n = 25 Спин 1/2 частицы идеальный спин Система равна 5. Следовательно, волновая функция детали Spin 5 — спиннер с рангом симметрии n = 25 Легко видеть, что число независимых компонентов симметрично Спинор 25 ранга должен быть одинаковым. 25 + 1.
На самом деле только компоненты разные. Индекс 25 единиц, 0 двойок, 25-1 единиц И до 0 единиц и 25 двойок, например 1 двойка. С математической точки зрения симметричный спинор да Классификация возможных типов пересчета количества При вращении системы координат.
25 + раз доступно Отдельные величины линейно трансформируются друг от друга (Кроме того, количество этих количеств Выбор линейной комбинации), это можно обсудить Закон преобразования эквивалентен закону преобразования Ранг 25 симметричная спинорная компонента.
Любая совокупность Любое количество функций, которые линейно преобразуют друг друга Через друга при повороте системы координат Дена одному (путем соответствующего линейного преобразования) или Некоторые симметричные спинолы 1). Так что любой прядильщик n ранга Ранг n, n-2, n-4, … Симметричный вращатель Дена-Фака Такое сокращение можно сделать следующим образом Метод.
Спинол φχ … симметризация, изображение при всех показателях Существуют симметричные счетчики с одинаковыми n рангами. Дальнейшее упрощение х) Другими словами, симметричный спиннер выполняет неприводимость Представление группы вращений (см. §98). 264, р и н гл. VIII Ранний спиннер фхцгу … разные пары индексов, пол Существует (n-2) спиннер ранга вида V ^ Ai / … j.
Симметричный, так что вы получите симметричный спинор (N-2) -й ранг. Симметричный спинор, возникающий из Упростите n пар индексов, получите симметрию (N-4) и т. Д. Соединение между компонентами должно быть установлено Симметричный спиннер с рангом 2s-ro и функцией 2 s + 1 f (s) (А = 5, с-1, …, -5). компонент s —a 11. , , 1 2 2. , , 2 f s + a, Индекс, где 1 повторяется (s + cr) раз, а 2 встречается (S-a) раз, равные проекции спина на ось 2.
Конечно, если мы снова рассмотрим систему частиц с n = 2s, Написано с использованием спина 1/2 вместо одной частицы со спином s, затем Компонент соответствует продукту 5 + cg s —a ^ V 1 ••• x V •••; Такими продуктами являются (s + a) ca Спиновая проекция ститов равна +1/2, (s — a) — проекция, Поскольку он равен –1/2, общая проекция равна (l / 2) (s + cr) — — (1/2) (с-а) = а.
Наконец, коэффициент пропорциональности Между компонентом написано спинор и ф (с) Быть равным (Эта сумма является скаляром, потому что она должна быть такой. Определяет вероятность нахождения частицы в данной точке Space). Всего справа от уравнения уравнения (S + a) появляется индекс 1 (2 «)! (S + Cr) KS-cg) — Времена.
Следовательно, функция φ (σ) и функция Компоненты Spinor устанавливаются по формуле §57В Л Н О В Ы Ё Ё Ф К Н К И С Ш И Т Т И К С П Р С Т Ф Х Ч Ш Щ Э Ю Я СПИН О.М. 265 Отношение (57.2) касается не только соблюдения Условие (57.1), но также более общее, как вы можете легко увидеть условия Φ ^ «‘<Px ^ … = (57,3) (7 Где φχ ^ — два разных спинора одного ранга.
И f (cr),) является функцией по сравнению с этими спинорами Уравнение (57.2) (коэффициент (-1) 5_cg Все индексные мании и символы для спинорных компонентов значительно меняются Сколько диад в индексе). Выражение (55.5) определяет результат работы Спин φ (σ) спиновой волновой функции.
- Не представляет труда Да, установить, как эти операторы влияют Волновая функция записана в виде 25-го спинора. в В случае спина 1/2 функции φ (+1/2) и φ (-1/2) ponents f1, f2 спинор. Согласно (55,6) и (55,7), результат Воздействие на них повернет оператор (Skhf) 1 = (1/2) φ2, (sipe) 1 = — (i / 2) φ2, (agph) 1 = (1/2) φ1 (% F) 2 = (1/2) f1, (woof) 2 = (г / 2) ^ 1, (szV ‘) 2 = — (1/2) V’2.
Напишите систему из 25 частиц со спином 1/2 Волновая функция в виде произведения из 25 спиноров. опера Тора системы частиц — это сумма операторов Спин каждой частицы действует только на соответствующую частицу Поверните вертушку и определите результат эффекта Формула (57,4).
Чтобы снова перейти к общему случаю любого спина. Людмила Фирмаль
Пройдите на любой путь Симметричный спинор, волновая функция частицы Для спина 5 получено следующее уравнение: s + cr s-cr S + CT-1 s-cr + 1 s + cr + 1 s-SG-1 s + cr s -cg S + CT-1 S -cg + 1 s + cr + 1 s -cg-1 / \ 11. , , 2 2 … + <7 л /. 1 1 … 2 2 …, s-r, 11 … и 2 2 … \ Syw) = -r — ^ — φ + 1 1 ^ ~ Ф s + cg s-cg s + cg s-cg = a f (57,5) До сих пор мы описали спинор как волновую функцию Соответствующий момент элементарных частиц.
Но формальный Там нет разницы в спине Суммарный импульс частиц и рассматриваемой системы 266 SPIN GL. VIII В целом мы отвлекаемся от своей внутренней структуры. по Спинор конверсионные характеристики То же самое Странное вращение волновой функции φjm в любой части Частица (или система частиц) с полным моментом j, независимо от От его природы (орбита или вращение).
Поэтому вы должны Есть определенное соответствие между предыдущими законами Формирование собственных функций при вращении системы ^ pjm Симметричные координаты и законы преобразования компонентов Спиннер ранга 2 j. Однако, чтобы установить это общение, вам необходимо: Четко разграничить два аспекта зависимости волновой функции Из проекции момента m (для конкретного значения j).
Моя речь Вы можете думать о волновых функциях как об амплитудах вероятности. Вы можете говорить о своих собственных значениях для разных значений м Функция с указанным значением t. Эти два аспекта уже были рассмотрены в начале §55. Если рассматривать собственную функцию 6 aao оператора 5 ^, Соответствует значению sz = 100-математическая разница Среди них отчетливо видно особенно на примере частиц Спин с = 1/2.
В этом случае функция спина Переменный износ CG, анти-вариантный блесна первого царапины га, т.е. должен быть написан согласно спинору Для обозначений типа S ° Q Ну, ковариантный спиннер. Эта ситуация явно носит общий характер. Реальная функция φjm может поддерживаться Имеет компонент ковариантного симметрического спинора ранга 2j (57.2)
Аналогично г): = J r T ^ F —— ^ 1 1 … 2 2 …. (57,6) J + M J-M Собственная функция целочисленного момента j Дана сферическая функция Y jm. Случай j = 1 особенно важен. X) К этому результату можно подходить немного иначе. Когда волновая функция φ частицы в состоянии момента j расширяется Собственная функция i / jjm ‘φ = E m M j m Амплитуда вероятности для различных значений m.
В этом смысле они соответствуют «компоненту» Φ (τ) спиновой волны. Установлены функции и законы их преобразования. С другой стороны, Однако значение φ в конкретной точке пространства не может зависеть от выбора Система координат, то есть сумма Y ^ arnφjrn, должна быть скалярной.
Сравнить Используя скаляр (57.3), мы можем видеть, что at нужно преобразовать следующим образом: (-1 В до tf, -t. §57В Л Н О В Ф Е Н К К И С Т Ш Х Ч Ш Щ Э Ю Я СПИН ОМ 267 Три функции шара Y \ m \ Я С Я С Yio-H-cos # = —n z, 47G 47G Yi, ± i = e ± iip = ± iny) (N — единичный вектор в направлении вектора радиуса). пила Эти три функции Эквивалентно компонентам некоторых векторов Переписку пишем на бланке f10 = iaz, phi = V’l -1 = ~ ^ (ах ~ iay) — (57-7) Сравнивая эти формулы с формулой (57.6)
Компонента симметричного спинора второго ранга Сопоставьте компоненты определенного вектора форм гуанако я, я /,. ч, я фп = Фп = ~~ ^ (ах + Ф22 = 〜 ^ (ахяй) ’ (57,8) И у). (57,9) / 1 2 * / 1 1 * / • \ / 2 2 * /, • \ Φ = ~ ^ d a ^ Φ = ^ K-w2 /)> Φ = — ^ d (топор + га). Обратное: az = i ^ / 2Φ12, топор = ~ ^ (Ф22 ~ Ф11) и у = ~ ^ (^ П + Ф22) — (57-10) Используйте это определение для легкой проверки. коронка Φ \ μ 268 SPIN GL.
VIII (Матричный индекс уо описан выше и ниже соответственно расположение спинорного индекса φ1) Определение этой формулы Когда второй счетчик φ ^ уменьшается до произведения Спиннер первого ранга φ ^ 1 и его комплексное сопряжение Жена фх *] тогда цени Среднее значение спина (для частиц с волновой функцией) Ее ^^), поэтому ее векторный характер ясен.
Переписка (57,8) или (57,9) Общие правила: Симметричный спиннер с четным рангом 2j (J является целым числом) может быть расположен симметрично Тензор половинного ранга (j) упрощает до нуля Любая пара индексов (такой тензор называется Dim). Это количество независимых ком Эти спинорные и тензорные константы одинаковы (равны 2j + 1) Простой подсчет, который можно легко проверить 1).
Переписка между Спинорные и тензорные компоненты можно найти с помощью Формула (57.8) — (57.10), при рассмотрении этого спинола Оценивается как произведение множества спиноров второго ранга, Тензор как произведение векторов. Z a z h 1. Перепишите определение оператора со спином 1/2 со спином Компонент вектора s.
Примите во внимание формулу (57.9), которая устанавливает следующее соотношение Вектор s ‘и определение спинора (57.4) имеют вид = + ΓgXv) — 2. Напишите выражение, которое определяет действие оператора вращения на веке. Функция спиновых волн частицы со спином 1.
Компонент векторной функции решения \ | / связь с компонентом Spinor fhm задается уравнением (57.9), а конец уравнения (57.5) равен vg f + = ~ f +, vg f- = f ~,% fg = 0 (Φ ± = φχ ± hfu) или ^ rfx = -rfu, ^ rfu = rfx, br rr = 0 Остальные выражения взяты из этих индексов циклической перестановки Сова х, у, я. Все могут написать вместе ‘фкк = ЪСгфг- x)
То есть компонент 2j + 1 (где j — целое число) неприводимого тензора Ранг j, набор шаровых функций Yjm 2j + 1 и 2j + 1 Компоненты симметричного спиннера с рангом 2jf делают то же самое Неприводимое представление группы вращений. § 58 Operan E Fine X VRA SCHNE Y 269
Комплексный вектор \ | / может быть представлен как \ | / = ega (u + iv). Где и v — реальные векторы, Фаза А может быть определена как взаимно перпендикулярная. два Вектор и и v определяют плоскость с проекционными свойствами Направление вращения, перпендикулярное ему, Значение = b1.
Смотрите также:
| Оператор спина | Оператор конечных вращений |
| Спиноры | Частичная поляризация частиц |
Если вам потребуется заказать решение по физике вы всегда можете написать мне в whatsapp.
