Верхний и нижний пределы последовательности

Верхний и нижний пределы последовательности

Верхний и нижний пределы последовательности. В разделе 4.6 показано, что числовая последовательность всегда имеет по крайней мере 1 частичный предел, либо конечный, либо бесконечный. Максимум и минимум из них (учитывая ниже, что они всегда присутствуют) это играОн играет особую роль в теории последовательностей. Здесь понятия «максимум» и «минимум» понимаются в смысле расширенного набора действительных чисел K (см.§ 3.1).То есть наибольший (наименьший) элемент множества X ^ K в частности равен+ then (соответственно), что делается при+€€ € (—это€X).в данном случае это означает, что бесконечность соответствующего знака является частичным ограничением рассматриваемой последовательности. Не все наборы расширенных числовых строк имеют максимальный (минимальный) элемент.

Множество его конечных пределов, обозначенных через а, не является пустым или пустым. Людмила Фирмаль

• Однако, если этот набор является частичным набором ограничений для определенной последовательности, максимальные и минимальные элементы всегда присутствуют, как показано ниже. Определение 19.Максимальный частичный предел для последовательности{xn}называется верхним пределом и обозначается символом xn, а минимальный частичный предел называется нижним пределом. n<sup class=»reg»>®</sup>тогда На это указывают ограничения Теорема 13.Любая последовательность{xn}имеет как максимальные, так и минимальные частичные пределы. Доказательство. Докажем существование максимального частичного ограничения. Для указанной последовательности{xn} возможны 2 случая. Связано ли оно с этим.

Если она не ограничена вершиной, то положительная бесконечность+ тогда является ее частичным пределом, который, очевидно, является максимумом, то есть 1_m xn = + тогда. n<sup class=»reg»>®</sup>тогда Если последовательность{xn}ограничена вершиной, есть 2 возможных случая снова. Сначала рассмотрим первый случай. Ограниченный сверху данной последовательности{xn}также означает ограниченный сверху непустого множества его конечной частичной границы. Это приводит к тому, что множество A имеет конечную верхнюю границу. указывает, что b = vir A является частичным пределом, то есть b€A. In дело в том, что в случае b $ A интервал (b-e, b + e) имеет конечное число членов в последовательности{xn} (в частности, он не единичен), поэтому (в этом интервале) один элемент A не существует и противоречит условию b = vir A.

• Таким образом, это B€A, и поэтому самый большой элемент множества A. In в остальном случае, то есть если последовательность{xn}ограничена сверху, а ее конечное множество частичных пределов a пусто, то она xn = TO (докажи это), то есть в этом случае множество частичных пределов будет состоять из 1 элемента-то есть максимума в этом множестве, то есть здесь. Аналогично, для любой последовательности доказывается наличие минимального (конечного или бесконечного) частичного предела. Теорема 14.Для того чтобы число a было верхней границей последовательности{xn}, следующие 2 условия должны быть достаточными для любого числа E. 1.Существует такое число ne, что неравенство xn A + e справедливо для каждого числа n ne. 2.

Для любого числа n, например n’N и xn’A-e, существует число n ’(зависящее от e и n). Условие 1 означает, что для любого фиксированного e в последовательности{xn} существует только конечное число членов xn, таких как xn a + e (эти числа не больше ne). Условие 2 означает, что для любого фиксированного e в последовательности{xn} существует бесконечно много таких членов xn. Доказательство необходимости. Давайте попробуем это исправить. Если в полупериоде существует бесконечно много членов последовательности{xn} [a + e,+ then), то существует подпоследовательность{xn}, элементы которой принадлежат этому полупериоду и имеют конечные или бесконечные пределы. очевидно, что b A + e A противоречит тому факту, что a является максимальным частичным ограничением последовательности. Условие 1 доказано.

Здесь мы указываем, что число a является самым большим частичным пределом. Людмила Фирмаль

• Кроме того, существует подпоследовательность{x}, такая, что она xn = a, поскольку верхний предел также является частичным пределом. Почти все члены последовательности n→тогда поскольку {x}больше, чем a-e, он бесконечен есть много членов в последовательности{xn}, которые больше, чем A-e, и Условие 2 также доказано. Доказательство адекватности. предположим, что a удовлетворяет условиям 1 и 2.покажем, что a является частичным ограничением. e = 1 / k, k = 1, 2,…Возьми его с собой. Для каждого натурального k существует номер ПК, который выглядит следующим образом: Его x a-1 / k(в зависимости от условия 2) и x a + 1 / k (В соответствии с условием 1).Для любого k неравенство a-1 / k xn a + 1 / k представляет собой бесконечное множество элементов xn определенной последовательности, поэтому число N K равно n(n = 1, 2,…) В п ^ кг k2.As в результате получаем подпоследовательность{x}этой последовательности.

Смотрите также:

Предмет математический анализ

Изображение действительных чисел бесконечными десятичными дробями.	Действительные функции.
Счетные и несчетные множества.	Способы задания функций.