Оглавление:
Векторы и операции над ними
Геометрическим вектором называется направленный отрезок, т. е. отрезок с началом и концом.
Обозначается вектор 
, 
.
Величиной вектора называют число, равное длине отрезка, соединяющего его начало и конец.
Нулевым вектором называется вектор, начало и конец которого совпадают. Его обозначают 
.
Вектор — называется противоположным вектору , если они лежат на параллельных прямых, имеют равные длины и различные направления.
Суммой двух векторов и 
называется вектор 
, начало которого совпадает с началом вектора , а конец вектора 
совпадает с концом вектора при условии, что вектор отложен от конца вектора .
Очевидно, что
Разностью — двух векторов и называется вектор 
, который в сумме с вектором дает вектор .
, если 
.
Чтобы получить разность — векторов и , надо отложить их из одной точки и соединить конец второго с концом первого .
Произведением вектора на число 
называется новый вектор 
, удовлетворяющий условиям:
1) 
;
2) и одинаково направлены при 
;
3) и противоположно направлены при 
.
Произведение вектора на число обладает следующими свойствами:
Действия над векторами, заданными своими координатами
Пусть даны два вектора: 
и 
. Тогда справедливы следующие правила:
Правило сложения двух векторов:
Правило вычитания двух векторов:
Правило умножения на число:
Произведение 
называется скалярным произведением векторов.
Векторы коллинеарны, если лежат на параллельных прямых или на одной прямой.
Векторы компрланарны, если лежат на одной плоскости.
Условие коллинеарности: 
или в координатной форме это имеет вид: 
.
Два ненулевых вектора и ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно 0.
В координатной форме условие перпендикулярности имеет вид: 
.
Задача №19.
При каких значениях 
и 
векторы 
и 
коллинеарны?
Решение:
Координаты этих векторов 
должны быть пропорциональны: 
.
Отсюда находим, что 
.
Задача №20.
При каких к векторы 
и 
перпендикулярны?
Решение:
Воспользуемся условием перпендикулярности:
Этот материал взят со страницы кратких лекций с решением задач по высшей математике:
Решение задач по высшей математике
Возможно эти страницы вам будут полезны:
