Оглавление:
Устойчивость равновесия свободной материальной точки. Доказательство Лежен-Дирихле
- Рассмотрим свободную точку M x, y, 2. Это происходит под действием силы, результат которой X, Y, Z имеет функцию силы t x, y, Z. 7 v dU ду ДХ г д л ДГ. Если X, Y, Z равны нулю, то есть определены максимальное и минимальное значения функции U, то существует точка равновесия точки. Если функция U имеет максимальное значение в определенном положении точки O, то соответствующее равновесие будет устойчивым. Принимая это положение O в качестве начальной точки, функция U исчезает в точке O. Это связано с тем, что функция определяется до аддитивной постоянной и всегда может быть упорядочена так, что функция CJ исчезает при определенных points.
Чтобы более точно уточнить понятие максимума, опишем выпуклую поверхность S вокруг точки O. Например, размер центра S это сфера S или куб, а поверхность S и функция U на ней отрицательны, за исключением начала координат O, от разных нулей. Если вы выбираете поверхности s сколь угодно малым, можно увидеть, что есть 2 положительные числа е и М и имеют следующие характеристики: в момент движения, получается, в какой точке движения остается внутри поверхности s, в которой точке движения в начальной позиции, на расстоянии меньше от и передает начальная скорость меньше, чем M. В самом деле, функция U поверхности 5 является отрицательным и нулем.
Следовательно, достаточно выразить, что полоса между двумя плоскостями двух бесконечно близких прямых сечений находится в равновесии. Людмила Фирмаль
Так, на поверхности 5 можно указать положительное число p, которое является достаточно небольшим. П п, п п В. Здесь точка M помещается в начальное положение A5 на поверхности 10×0, y0, 20, чтобы сигнализировать начальную скорость vQ. Кинетическая энергия, основанная на теореме о движении, которое начинает совершать точка Где UQ значение функции U в точке Io и является отрицательным. Условия определяют начальное положение и скорость Два Н р.
- Например, достаточно принять. Первое из этих неравенств определяет верхнюю границу U равным гг M далее, функция U непрерывна и сначала исчезает, поэтому если расстояние OL40 меньше e, то оно будет меньше Z70 p 2.Тогда, задав начальное положение от точки O на расстоянии меньше e до движущейся точки, и дав начальную скорость меньше Yplm, удовлетворяет неравенству 2, а следовательно, исходя из теоремы о кинетической энергии 1 У милливольт 3 На самом деле, это показывает, что точка движения не могут превосходить С.
Поверхность, на самом деле, когда точка достигнет поверхности S, то u становится отрицательным, и кинетическая энергия является существенно положительной суммой, меньше отрицательной величины. Таким образом, теорема доказана. Например, если точка притягивается к центру O пропорционально расстоянию, то O это положение устойчивого равновесия пункт 90. Поскольку U отрицательно, по уравнению 3 mv2 2 меньше, чем p, v это V2p Поскольку она меньше T, результирующее движение может указывать на верхний предел скорости. Обратное предложение. Скорее всего, верно и обратное.
Можно считать очевидным, что парус примет форму цилиндра с вертикальными образующими и что вид прямого сечения не зависит от высоты. Людмила Фирмаль
Dy производной в точке, представляющей изолированное положение равновесия dU dU Она будет равна нулю, но соответствующее равновесие будет неустойчивым, так как функция U не имеет максимального значения. Это предложение для широкого класса случаев было предложено Ляпуновым Journal de Math6matiques, vol. Ill, 1897, p. 81 и Hadamard то же самое, P. 364.Однако если положение равновесия задачи не изолировано, то равновесие может быть устойчивым, но функция U не будет максимизирована.
Это первый случай, когда Painlev Comptes Rendus, vol.12 j, 1904. г = 4Т Jj адрес Х5 грех У2 В этом примере началом координат является положение устойчивого равновесия, но функция U не имеет максимального значения. А. М. Русский перевод этой статьи Ляпунова прилагается ко 2 му 3 е издание докторской диссертации общие проблемы устойчивости движения Гостехиздат, 1935 и 1950. А. М. Ляпунов, произведения, т. II, см. Также издательство Академии Наук СССР, 1956. Примечание, пер. Отмечать.
Смотрите также:
Решение задач по теоретической механике
