Оглавление:
Условно-периодическое движение в физике
- Условное периодическое движение. Рассмотрим замкнутую систему с множеством степеней свободы и конечного движения (по всем координатам). Предполагается, что эта задача позволяет полностью разделить переменные Гамильтона-Якоби.
Это было сокращено путем правильного выбора координат. Действие полное 50 = ‘iS i (qi) (52,1) г Функция зависит только от одной из координат. Обобщенный импульс dS0 dSi Pi — О -5 Оки дки И каждая из функций Si 51 = J Pi dqi. (52,2) Эти особенности неоднозначны.
Когда вы передумаете в этот интервал Увеличение Людмила Фирмаль
Из-за конечного характера движения Каждая координата может быть выполнена только через определенные конечные интервалы. «вперед» и «назад» действий A50 = ASi = 2nli, (52,3) Где я есть интеграл Ii = ^ f p idqi, (52,4) Взято из указанного изменения qi g).
Теперь выполните каноническое преобразование так же, как в предыдущем разделе. 1 степень свободы. Новая переменная «ne Пояс действия «Ii» и «угол переменной» Wi = a s ^ J) = j 2? ^ д л, (52,5) к Опять же, функция генерации — это действие, выраженное как функция координаты и величины уравнения движения. #I ^ / gh для этих переменных к.
- Ой И дать Ii = const, (52,6) u = g ^ t + const (52,7) Ozzy Как и в (50.7), вы также можете видеть, что полное изменение координат qi («вперед» и «назад») соответствует изменению. Совместим с 2TG: Ави = 2тг (52,8) Другими словами, величина Wi (q, I) неоднозначна Координатная функция.
Изменение последнего восстановит первоначальное значение, Целое число, кратное 2тг. Это свойство также можно сформулировать как свойство функции Wi (p, q) ( Координаты и импульс в фазовом пространстве системы). по Величина / ^ сама по себе является функцией одного значения этих переменных, когда она представлена p и q, поэтому Получить Ii (p, q) и функцию Wi (p, q) из Wi (q, /).
В результате уникальная функция состояния Система Людмила Фирмаль
Это означает, что при обходе замкнутой кривой в фазовом пространстве Измените целое кратное 2tg (или ноль). F (p, q) x), представленная каноническими переменными, является периодической функцией угловых переменных, причем каждый период равен 2tr.
Поэтому можно разобрать Жить в мультиплексе Фурье Chou F = Ј ••• X) АааааааааааааааааааааааааааааТия]] ll = -SJ ls = -OG (Zi, Z2, …, Zs — целые числа). Если мы теперь подставим угловую переменную как функцию времени, то увидим, что зависимость F от времени определяется суммой вида Chou F = ^ 2- ^ 2 Ааа ~ это expPО1н ——— ^ 1 0} ‘(52-9) ll = -sy ls = -oo
Каждый член этой суммы имеет периодическую функцию Частое время + ••• + Zscus, (52.10) Представляет сумму целых кратных основной частоты = г • (52,11) Но все частоты (52.10), вообще говоря, Любое целое, кратное (или рациональная часть) С одной стороны, общая сумма в целом не является строго периодической функцией.
Это относится, в частности, к самой координате q и импульсу p системы. Следовательно, движение системы обычно Чай вообще не является строго периодическим в любых координатах. Это означает, что если система проходит какое-либо состояние, она не пройдет снова через конечное время.
Но тогда можно обсудить Достаточно долго Место близко к этому состоянию. Это свойство Такое движение периодически вызывается с условием. Два основных (или более) в различных особых случаях Vi частота сопоставима (любая Сумма стоимости / ^). В таких случаях вы говорите о доступности Рождение и поведение системы, если все s частоты эквивалентны Это называется полным вырождением.
В последнем случае Движение строго периодическое и, следовательно, орбитальное Все частицы закрыты. Существование вырождения приводит в первую очередь к уменьшению. Количество независимых величин (/ ^), энергия на нем система гиа. Свяжите две частоты cui и si2 с реляционным выражением ni и P2 являются целыми числами.
Следовательно, количество ii и / 2 ввода энергии только в виде общего П2 / 1 + П1 / 2. Очень важная особенность вырожденного движения JAV Увеличение количества уникальных интегралов движения Сравните с общим случаем число невырожденных систем Мы (с одинаковым количеством степеней свободы).
В последнем случае из Общее количество всех интегралов движения (2с-1) является уникальным Общая функция состояния системы. Комплектация Например, настроить сумму Ii. Оставшийся с-1 интеграл Можно выразить как разницу DE DE / go I o \ «» * Нет. • (52ЛЗ) Эти суммы инвариантности могут быть получены непосредственно из формулы (52.7), но из-за неоднозначности переменной угла, Четкая функция состояния системы.
Ситуация меняется, когда происходит вырождение. Так вви Выполнить объединение (52.12) интеграции w \ U2-W2ni (52,14) Двусмысленный, но менее двусмысленный Добавьте целое число, кратное 2тг. Следовательно, доста Возьмите именно это количество тригонометрической функции Чтобы получить новый уникальный интеграл движения.
Пример вырожденного движения Поле U = —os / g (см. Проблему в этом разделе). Это точно Ситуация приводит к новому и особенному внешнему виду Уникальный интеграл движения (15.17), два (раса) Движение сразу считается плоским) Интегральные, -Момент М и энергия Е, -Механические характеристики Нию в любом центральном поле.
Также дополнительный внешний вид Интеграция приводит к другому Вырожденное движение-позволяет для полного раздела Различные переменные, но конкретные конкретные х Выбор координат. На самом деле, количество координат / ^ Выполнение разделения переменных является уникальным интегралом движения.
Но при наличии вырождения Поскольку интеграл одного значения превышает s, Неоднозначный выбор того, что вы хотите получить Количество 1 {. В качестве примера давайте вернемся к движению Кеплера. Сферическая и Параболические координаты.
В предыдущем абзаце, одномерный Мистер конечная переменная действия Батик инвариант. Это утверждение остается в силе, Для систем со многими степенями свободы. Проверено в Прямое обобщение метода, описанного в общем случае Chale § 51.
Для многомерных систем с переменным параметром A (Ј) Уравнение движения для канонических переменных Переменная действия 1 {выражение, То же самое (50.10): • Да • * dwi ’^^ Где A = (dSo / dX) я, как и раньше.
Усреднение этого равенства Необходимо производить в течение более длительного периода Маленький по сравнению с основным периодом системы Меняется со временем параметра A (Ј). В этом случае А Символ усреднения, взятый снизу символа усреднения dA / dwi создается так, как если бы произошло движение Поскольку это константа A, она была условной и периодической.
тогда Где A — уникальная периодическая функция угла Среднее значение Wi и его производной dA / dwi Будет отключен. В заключение сделаем несколько замечаний Свойства конечного движения замкнутых систем со многими (5) Наиболее распространенные случаи степеней свободы я не предполагаю Отделимость соответствующих переменных уравнения Гами Рона Якоби.
Основные характеристики систем с разделяемыми переменными mi — единственность интеграла движения Это равно количеству степеней свободы. Общий случай системы Уникальный набор интеграции с неразделимыми переменными Рыбалка ограничена людьми с гомеостазом Представление пространственной однородности и изотропных характеристик Закон времени, т.е. сохранения энергии, импульса, импульса.
Фазовая траектория системы проходит через эти области Пространство вызова определяется по указанной константе Уникальная интегральная ценность движения. для Система с разделимыми переменными с одним значением Путем интегрирования эти условия определяют s-мерное многообразие
Разность в фазовом пространстве (сверхкруглая поверхность). во время Траектория системы покроет это в течение достаточно долгого времени. Суперповерхность произвольно жесткая. Меньше в системах, которые используют неразделимые переменные Существует ряд (одинаковых) уникальных интегралов Орбита полностью заполнена фазовым пространством (полностью Часть или часть многих регионов (разнообразие) Измерение.
Наконец, гамильтонова функция системы В отличие от функций, которые допускают разделение переменных, Лишь несколько терминов, свойства движения близки к ним Условное периодическое состояние движения и эта степень Близость намного выше, чем степень дополнительной малости Член функции Гамильтона.
Оспаривать Вычислить переменную действия для эллиптического движения в поле U = -a / g. Решения. Полярная координата r, (в плоскости движения p, 2 тонны / f = J rf dip = M, о Ir = h / V4Ј + 7) -pr * = — «+» \ / iir Гт Таким образом, энергия выражается через переменные действия: , , 2 E: 2 (1G + / f) 2 Итого зависит только от 1Г + / ф. Это означает вырождение движения Обе основные частоты (в (p и в g)) совпадают.
Параметры орбит p и e (см. (15.4)) р = м-а-е2 = 1- Количество адиабатической инвариантности Изменения коэффициента А или массы м, эксцентриситет орбиты сохраняется Не изменяется, его размеры изменяются обратно пропорционально m и os.
Смотрите также:
| Канонические переменные в физике | Скорость распространения взаимодействий в физике |
| Точность сохранения адиабатического инварианта | Интервал в физике |
Если вам потребуется помощь по физике вы всегда можете написать мне в whatsapp.
