Оглавление:
Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования
Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования. Все кривые (контуры), рассматриваемые в этом разделе, всегда считаются кусочно-гладкими. Для краткости, это не упоминается специально каждый раз. Также обратите внимание, что в любой области O одна из точек всегда может быть соединена кусочно-гладкой кривой, Например, полностью ломаной линией в O (см. лемму 4 в§ 41.4). Предположим, что задана плоская область C и определена непрерывная функция P = P (x, y) и 2-C1 (x, y).При каких условиях кривая интеграла 5 Rd, x + C1(1y Дополнительно фиксированные 4EC и BeC Выделите кривые AB, соедините их и лягте на O Лемма 2.
Условие независимости рассматриваемого интегрирования кривой от указанного пути интегрирования соответствует исчезновению интеграла по замкнутому контуру. Людмила Фирмаль
- Доказательство. 1.Равенство, правда. \ P yx + C1yy = 0, 2 кривые даны(Л5Д и (ЛВ) 2, соединяются В O точки A и B(см. рис.194). (VL) 3 показывает 47.8.Независимое условие интегрирования кривой 209. (AB) кривая, полученная путем замены противоположной ориентации от 2. Потому что (ЛП) х г (ва) 2 кривые (ЛП) х и (Б)соединения по замкнутому циклу、 ^ Рых + дю = 0; (47.28） (4B) 1 и (ой) 2 5 П Т-\ с, ГГ = ^ П Г + Ц ^ ый -) $ Пх + C1yy = (Java 1 и (al), (AB) 1 (VA) 2 ^П г—0,ый-ЛРхх \ −0,ыы. (47.29)(^ с)1(^ С)Д Из (47.28)и (47.29)、 ^ П т-\ C1yy = ^ П Т -0.ыы、 (ТВ) 1 (ЛВ) 2 То есть Интеграл кривой Рйх — C1yy не зависит от пути Исправлена интеграция LEC и BeC, AB и O. 2.И наоборот, предположим, что интеграл$ P xx + 2 yy не зависит от пути интегрирования в указанном смысле и имеет замкнутый контур y, который находится в O. г = АВ] ва и ^ Pjx \ C1yy= ^-\〜^ = ^-§= 0、 В АВ Джа телевизор (ЛЖ) х Вот (АБ).
Показывает кривую, полученную путем замены направления от кривой VA. Тс Сформулируйте критерий независимости интеграла от интегрального пути. Теорема 3.Предположим, что функции P (x, y) и 0, (x, y) являются смежными в плоской области C. интегрирование кривой с фиксированной точкой Рй + + + () при Помимо пути интегрирования AB и O, необходимо и достаточно, чтобы выражение P xx + 2 yy было полной производной функции u = u (x, y), определенной в области O. Йи = П ых {C1yu(47.30） (Это эквивалентно= P,^ =(x, y)^ C). При этом условии для любых 2 точек A =(x0, ya) e 0 и B〜(x 1, e e E 0 и любой кривой AB, соедините$ 47.
- Интеграция кривых. Двести десять Есть личности, о ЗБ АВ пасти этих точек в О 5 п г + С1 1У = у(Х1, У1) у(х0,уй). (47.31） Логический том Требования требуют сертификации(47.30). Предположим, что интеграл задачи не зависит от пути Интеграция происходит в области O, но только с начальной и конечной точек. М0 =(х0, У0) е 0、 M =(x, y)= 0, а M0M-кусочно-гладкая кривая, соединяющая точки M0 и M из O (такая кривая всегда присутствует, даже с ломаной линией).41.4 см. лемму 5 в§).Поставь 5 P0x +(Yy. Мама. Ди (х, г) ДХ = Р(Х, Y) и Ди (х, г) сделать Y）Функция u (x, y) уникальна. Это неудивительно, поскольку величина u (M)= u (x, y) не зависит от выбора кривой, соединяющей точки M0 и M в точке O.
Точки М =(Х, Y) и точки Ма =(х-1-В, Г) изменять ЕК, ч ^ 0, и сегмент ММА (что явно параллельна оси Ох и имеет длину\ П), которая соединяет м и MN, входит в o(рис. 195).Для каждого достаточно малого числа H вы можете сделать такой выбор в любое время(почему? это не. И затем… И (x + H, y) и (x, y)= = ^ П т\ С1 1У $ П yxp0.yy =§P yx \ (±d. u. M ^ MN Mf1 LSL Потому что координата y постоянна вдоль сегмента MMA、 5 i du = 0, следовательно u (x \ H, y) u (x, y) = § Pjx = a mmn mmn х + 1г = ^ P («Y) m-применение теоремы об интегральном среднем значении、 Икс Мы получаем у (xfH, г)-У(х, г)= р(х + БХ, у) ч, 0 0 1、 Откуда u (x + H, y)^ _ и (x, y) y), 0 0 1.(47.32)） 47.8.Независимое условие интегрирования кривой 2ч Правая сторона этого равенства обусловлена непрерывностью.
Доказательство того, что условие независимости интеграла кривой от интегрального пути (47.30) является достаточным, получено непосредственно из Формулы (47.31). Людмила Фирмаль
- Функция P (x, y) имеет предел η-0, и поэтому левая η-0 также имеет предел. (47.32) при достижении предела、 он имеет di (’y)= P (x, y). Равенство di ^ ^ = ^ ^(xy) доказывается точно так же. Итак, доказано существование функции u (x, y), для которой выполняется соотношение (47.30). Здесь пусть LeC, B e C, AB-кривая, соединяющая точки A и B с 0, а x = x (1), y с y ((), A (b) с его представлением, A(x (a), y (a)), B =(x (b), y (b)). ^ Pjx + Ly = $ {P [x (0, Y# ’(0 + 2 [x (0, y (01 Y’(0} & = АБ а Ди (х (((), г ()) с! г!^ Б * = \ у (Х (1), г (1)) да = у [х (п), г (Б)]-и[Х(а), г(а)] = у(Б)-У( А） Но… То есть формула (47.31) также доказана. фактически начальная точка замкнутого контура y совпадает с концом.
Смотрите также:
Решение задач по математическому анализу
