Оглавление:
Уравнения Эйнштейна
- Уравнения Эйнштейна. Вы можете перейти к выводу уравнения гравитации Поле. Эти уравнения получены из принципа наименьшего Действие S (Sm + Sg) = 0, Sg и S ‘™ — действия Гравитационное поле и материя 1). варьирование Гравитационное поле, т.е. г
Рассчитать вариации SSg. У нас есть 5 J R ^ d S l = 5J gi kRik \ fg —dlЈ = = J (RikV ~ gdgik + RikgikdV = g + gikV = g $ Rik) dn. (86.4) заменить здесь, Sy / = g = — ^ = S g = ~ ^ V ^ ggikSgzk, узнать <5J R V ^ gdtt = j (Rik- \ gikR>) 8 гик ^ d S l + J гик5RikV-gdЈl. (95,1) Для расчета SRik значение Tkk1 равно Тензор составлен, но изменение 5Gy формирует тензор.
это параллельное изменение вектора Переход из точки P в место около бесконечности Людмила Фирмаль
день Конечно, T ^ Akdx1 — (см. (85.5)) Ее R ‘. Таким образом, SY ^ Akdx1 — это разница между следующими двумя векторами: Излучается в двух параллельных передачах каждый (Th1, который не изменяется, и Th1, который изменяется) Из точки P Та же точка P ‘.
Разница между двумя векторами Кроме того, STlkl является тензором, потому что эта же точка является вектором. Использовать локальную геодезическую систему координат. Далее в указанной точке все ггк1 = 0. Используя формулу (92.7) Рик (помните, что первая производная от GLK равна На данный момент ноль): __ g / s f ^ g p / ^ g p / \ __ g / s ^ g p / r r ^ — ^ — A F ^ __ g 6R ^ 〜g \ ^ 6T ^ — ^ 6r4-g ^ 6T ^ -g где w l = g iKS T ilk-g ilS T ik.
- Поскольку wl является вектором, вы можете написать результат Произвольные отношения системы координат в формах ® «4-й» = Јg (‘/ = * «’,) (Замените dwl / dx1 на ri? R и используйте (86.9)). Поэтому ВТО Групповой интеграл в правой части (95.1) имеет вид dy / —g wl j gik6Rik ^ <m = j ‘ dx1 Согласно теореме Гаусса ее можно преобразовать в интеграл wl. 4 На гиперповерхности, которая покрывает весь объем.
с того времени Если интегральная вариация поля равна нулю, это Член исчезает. Следовательно, флуктуация SSg равна 1) 6Sg = ~ i k J k ~ \ sikR) SgikV = gdSl. (95.2) Исходя из формулы Sr = -J Gyf ^ gdQ, Что касается действия поля, SSg = — ^ — 8 16tg J | dg% k dx1 dglk g 6 dh1 Сравните это с (95.2), и вы найдете следующее соотношение: Rik ~ gikR = — (- A \. (95,3) gk 2 y / = g \ dglk Ex1 Qdg ^ J v Чтобы изменить поведение вещества, согласно (94.5)
Гравитационное взаимодействие играет роль Только тело с достаточно большой массой Людмила Фирмаль
6 См = h f ТикСгикВ 4 д S л (95,4) Где тензор энергии импульса вещества Магнитное поле). (потому что оно маленькое) Постоянная гравитации). Поэтому в исследованиях гравия Поля, которые обычно должны быть обработаны макроскопически Из тела. Следовательно, T ^ обычно необходим. Напишите выражение (94.9).
Поэтому из принципа минимального действия ССм + + SSg = 0 / (Rik ~ \ gikR ~ ^ Tik) 5gikV = g d tt = 0, Причины случайности 6glk Rik ~ \ gikR = 8 ~ ^ T ik, (95,5) 2 секунды Или со смешанными компонентами Rk- \ 5 kR = * -fT k. (95,6) Это предпочтительные уравнения для гравитационного поля Общее уравнение относительности. Они называются равенством Эйнштейн. Упрощение (95,6) для индексов i и k, R = — ^ T (95,7) и (Т = Т-).
Таким образом, уравнения поля также можно записать в виде Рик = * -f (Т ик — 1гикт). (95,8) Уравнение Эйнштейна нелинейно. Поэтому из-за гравитации В Оно принцип суперпозиции несправедлив.
Этот принцип Принять только для слабых полей Линеаризация уравнения Эйнштейна (к ним относятся: В частности, классическое ньютоновское гравитационное поле Ограничения — см. § 99). T ^ = 0 и гравитационное уравнение в пустом пространстве Поле сводится к уравнению Рик = 0. (95,9)
Помните, что это не значит, что свободное пространство Время состояния плоское — это требует выполнения более строгого условия Риклм-0. Тензор энергии-импульса электромагнитного поля равен Со свойством T- = 0 (см. (33.2)). Смотрите здесь (95,7)
В результате возникает только одно электромагнитное поле Скалярная кривизна пространства-времени без массы Равно нулю Как известно, расхождение тензора импульса энергии Ноль: ТЈк = 0. (95.10) Следовательно, левая дивергенция также должна быть равна нулю. Часть уравнения (95.6). Это правда благодаря идентичности. (92,10). Следовательно, уравнение (95.10) по существу включено Уравнение поля (95.6).
С другой стороны, уравнение (95.10), Выразить и включить закон сохранения энергии и импульса Само собой, уравнения движения физической системы Рассматриваемый тензор энергии-импульса (т.е. уравнение Вторая пара движения материальной частицы или уравнения Нью максвелл).
Следовательно, уравнение гравитационного поля Это уравнение для самого вещества, Это поле. Поэтому распределение и движение материи я создаю Гравитационное поле никогда не дается Для произвольно означая образом. Наоборот, они должны быть определены. (Решая заданные начальные уравнения поля Условие) При этом сама проблема создается В поле.
Обратите внимание на принципиальную разницу в этой ситуации. Хотя это было в случае электромагнитного Это уравнение поля (уравнение Максвелла) Сохраните себе полное уравнение заряда (уравнение Непрерывность) не является уравнением движения самого заряда.
по Можно дать это распределение и движение заряда Опционально, когда постоянен только полный заряд Установив это распределение заряда по уравнению Нима Теория Максвелла определяет электромагниты, которые они создают Поле. Тем не менее, для полного определения расы, Распределение материала и движение в случае гравитационных полей.
К уравнениям Эйнштейна нам нужно добавить другое (конечно, не включенное) уравнение состояния вещества, то есть уравнение, которое коррелирует давление и плотность. Это Уравнение должно быть указано вместе с уравнением поля 1). 4 хх координаты могут быть указаны произвольно Му преобразование.
С помощью этого преобразования вы можете: Произвольно выбрать 4 из 10 компонентов Тензор г ^. Следовательно, независимая неизвестная функция Есть только шесть г ^. Далее четыре компонента Содержит в энергии тензор импульса вещества 4-ступенчатой иг Поскольку они связаны друг с другом соотношением n = 1, Только три из них моделируются.
Итак, мы 10 уравнений поля (95,5) следующим образом Известное количество: 6 компонентов г ^, 3 компонента Плотность вещества е / с2 (или его давление р). Для гравитации В пустоте осталось только 6 неизвестных величин (Компонент г ^) и, соответственно, независимое число Уравнения поля: 10 уравнений Rik = 0 связаны 4 Идентичность (92.10).
Обратите внимание на структурные особенности уравнения Эйна Мат. Это дифференциальные системы Второе уравнение в частных производных. Тем не менее, Уравнение содержит не все вторые производные 10 компонентов г ^.
Фактически из (92.1) второго Производная по времени встречается только в компонентах RoaO / 3 Тензор кривизны, когда вводится как термин — разрыв / 2 (точка обозначает производную по x0), вторая производная Полностью отсутствует в компонентах Гоа и Гоо метрического тензора Итак, результат, полученный в результате упрощения Тензоры кривизны, тензоры и уравнения (95.5)
Включает только 6 профессиональных вторых производных Странный разрыв компонентов. Эти производные a-уравнения (95.6), то есть уравнения R i- \ 5 i R = ^ T ^. (95.11) Уравнения § и ®, т.е. уравнения R ° 0- \ R = ^ T 0 °, R ° a = (95,12) z s s
Включает производные по времени первого порядка. в Это при обучении Риким объема затвердевания R® и D (] — ^ D = ^ ^ D (] -R ^ j comp Элементы вида RoaO / З фактически отсутствуют. Легко увидеть Это описание формы из Identity (92.10) (.R 4 -l- $ R) o = — (R? -Ir R) a (95,13) (G = 0,1,2,3).
Высокая производная по времени Правая часть этого равенства является второй производной (рис. Количество R f, D) само по себе. (95.13) это тождество Так что на левой стороне Производная второго порядка или меньше по времени. Но одно Производная по времени уже явно отображается Метод, поэтому формула Ui- (5? D) / 2 Производная по времени ниже первого порядка.
Кроме того, в левой части уравнения (95.12) И первая производная Гоа и Гу (но только производная от разрыва) — день Конечно, из этих производных только Ga? оо Go, oO 5 и эти количества включены только в компонент Как мы уже знаем, элемент тензора кривизны в виде DoaO / 3>
Отпадает, когда формируется левая часть уравнения (95.12). Если вы заинтересованы в решении уравнения Эйнштейна Проблемы возникают при заданных начальных (по времени) условиях О количестве значений, которые могут быть установлены произвольно Начальное пространственное распределение.
Начальное условие квадратного уравнения Включить начальное распределение как производную Первая производная по значению и времени. но В этом случае уравнение имеет второй Только вода от 6 га / 3, в исходном состоянии При желании дать г ^ и г ^.
Так что вы можете спросить (с Скорость материала и плотность) начальное значение func Максимум из четырех уравнений (95.12) разрыва и разрыва Допустимые начальные значения goa и goo, уравнение (95.11)
Начальные значения goa и goo остаются необязательными Количество начальных условий, установленных таким образом, равно Тем не менее, есть также функции, которые актуальны Просто желание выбрать 4 системы координат. между тем 376 Уравнение гравитационного поля CH. запад Только номер «физически Различная «любая функция.
Это можно уменьшить, не выбирая систему отсчета. физически По простым причинам вы можете легко увидеть, что это число равно 8. Условие должно определять распределение плотности вещества 3 элемента скорости и еще 4 количества, Охарактеризовать гравитацию свободной (не материи) гравитации Поле (см. §107 ниже), для свободной гравитации Вам нужно только указать поле в пустоте с начальным условием Последние четыре величины.
Оспаривать Напишите уравнение постоянного гравитационного поля, чтобы выразить все Пространственное дифференциальное манипулирование формами Ковариантная производная в пространстве метрики ja / z (84,7). Решения. Обозначения goo = h, goa = —hga (88.11) и 3 Скорость измерения va (88.10).
Под все операции вверх и вниз Индексы и ковариантные производные генерируются в трех измерениях Пространство с метриками на трехмерных векторах га, ва и трехмерных векторов Скалярная ч. Требуемые уравнения должны быть инвариантными развитие ха- «■ ха, х ° -» х ° + f (xa), (1)
Не меняет стационарность поля. Но с таким преобразованием Проверка проста (см. Примечание на стр. 335), ga -Y ga-df / dxa и скалярная h И тензор = —gap + hgagp не изменяется. Следовательно, желаемое очевидно 7 Уравнение, представленное а / с? Может содержать только ч, га, га Как комбинация производных, составляющих трехмерную антисимметрию Тензор: , _ Dgp DGA fa / 3 г / 3; га; / 3- ^, ()
Неизменны относительно указанного преобразования. Подумай об этом Если вы стоите (после Вычисление всех производных производных Рика) ga = 0 И ga; / 3 + g / 3; ck = 0 1). Символ Кристоффеля: ° Г0ГО_ 1 ол 1 па _ 1 т; a0- ~ en, cx, 1 00- “5o = a + V / a„ + …, Γ & = — \ g p ti -ri _L p / .V G / s7-A ^ 7— (gpfj01 + g1fp ° L) + •••
Опущенные здесь термины (не эллипсы) являются вторичными Что касается компонент вектора ga], эти члены После дифференцирования с R ik (92.7) положим g a = 0. в В расчетах использовались формулы (84,9), (84,12) и (84,13).
L ^ 7-трехмерный Символ Кристоффеля построен по метрике Вы можете рассчитать с помощью r из уравнений (94.9) и (88.14) (и установить g a = 0). В результате расчета из (95.8) получено следующее уравнение. о 1 трек г / ч га. (3 3 pol (3 (ГГ \ & 7гкр ~ \ ~ ЈV, .ч ^ o o = — / = (4) La / 3 = -1 (у / л а; ^ 2 7 лет с4 (P + Ј) vayP + g-P a / S (1-v / s) (5) Где Rar — это трехмерный тензор, построенный из j ap, а R 1 построен. от гика х).
Смотрите также:
| Действие для гравитационного поля | Псевдотензор энергии-импульса гравитационного поля |
| Тензор энергии-импульса | Синхронная система отсчета |
