Оглавление:
Уравнения, допускающие понижение порядка
Одним из методов интегрирования ДУ высших порядков является метод понижения порядка. Суть метода состоит в том, что с помощью замены переменной (подстановки) данное ДУ сводится к уравнению, порядок которого ниже.
Рассмотрим три типа уравнений, допускающих понижение порядка.
I. Пусть дано уравнение

Порядок можно понизить, введя новую функцию , положив
. Тогда
и получаем ДУ первого порядка:
. Решив его, т. е. найдя функцию
, решим уравнение
. Получим общее решение заданного уравнения (49.6).
На практике поступают иначе: порядок понижается непосредственно путем последовательного интегрирования уравнения.
Так как уравнение (49.6) можно записать в виде
. Тогда, интегрируя уравнение
, получаем:
, или
. Далее, интегрируя полученное уравнение по
, находим:
, т. е.
— общее решение данного уравнения.
Если дано уравнение

то, проинтегрировав его последовательно раз, найдем общее решение уравнения:
.
Пример №49.1.
Решить уравнение .
Решение: Последовательно интегрируя четыре раза данное уравнение, получим

II. Пусть дано уравнение

не содержащее явно искомой функции .
Обозначим , где
— новая неизвестная функция. Тогда
и уравнение (49.7) принимает вид
. Пусть
— общее решение полученного ДУ первого порядка. Заменяя функцию
на
, получаем ДУ:
. Оно имеет вид (49.6). Для отыскания у достаточно проинтегрировать последнее уравнение. Общее решение уравнения (49.7) будет иметь вид
.
Частным случаем уравнения (49.7) является уравнение

не содержащее также и независимую переменную . Оно интегрируется гем же способом:
. Получаем уравнение
с разделяющимися переменными.
Если задано уравнение вида

которое также не содержит явно искомой функции, то его порядок можно понизить на единиц, положив
. Тогда
;
и уравнение (49.9) примет вид
.
Частным случаем уравнения (49.9) является уравнение

или

С помощью замены это уравнение сводится к ДУ первого порядка.
Дополнительные примеры:
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
Уравнение в полных дифференциалах интегрирующий множитель |
Уравнения Лагранжа и Клеро |
Линейные однородные ДУ второго порядка |
Линейные однородные ДУ n-го порядка |