Оглавление:
Уравнения динамического пограничного слоя
- Упростите уравнения Навье-Стокса(11-29, P-30 и P-31) с целью получения уравнений для исследования пограничных слоев. Мы делаем это для простого случая 2-мерного плоского параллельного потока, обтекающего пластину. Если расположить координатные оси на передней кромке пластины, то уравнения неразрывности (Р-7) и Навье — Стокса (Р-29 и II-30) 2-го течения несжимаемых Р = const жидкостей имеют следующий вид: ДСВ ДП(Д2d2wx 1 м! Х. 1 1. ДХ ду Р ДХ + вл dx2 почтовый индекс dy2 ДШИ ДГ» я dwy 1 ДП + в (Д2 .
Западная Вирджиния, Вайоминг Д2 ДХ + » ’х -^ + «’ V сделать п ды(dx2 почтовый индекс dy2 Дуг, Даг Ди. (В VII-1） Упрощение уравнения (VI1-1) основано на оценке порядка величин, содержащихся в уравнении, а более мелкие отбрасываются. Количественное сравнение величин различных физических свойств возможно только в том случае, если они представлены в безразмерном виде.
Здесь мы оцениваем порядок относительных величин, входящих в Формулу (VI1-2). Людмила Фирмаль
Преобразует уравнение (VII-1) в безразмерное form. As при задании шкал выберите скорость свободного течения W / — по отношению к координате x w / — характеристический продольный размер/, отношение по отношению к времени m, отношение по отношению к давлению p Безразмерная форма уравнения nop с Re (VII-1） Я… Значение =может быть представлено в виде (В VII-2） Здесь безразмерная величина показана в виде штриха, а критерий Рейнольдса Re не помечен как штрих, поскольку он по определению безразмерен.
Код заказа Чтобы прояснить суть оценки, рассмотрим простой пример.2 переменные x и//, которые являются характеристиками конкретного процесса, должны изменяться через интервалы соответственно: x-0 до XY, а y-O до f / from, они определяются как сумма порядка xy, а y-порядок y. In в этом примере мы не знаем текущих значений x и y в определенном интервале, и будем говорить только об оценке порядка значений переменных x и y. » порядок переменной x равен X? «или» порядок переменной y равен y₀ » вместо слова、 O (x)=x c₀ и O (y)=₀、 Где о-первая буква латинского ordo-порядок.
Переменные x и y имеют одинаковые физические свойства и в зависимости от состояния задачи И затем… О (/О)= О (х） И очевидно По условию — ^«1 * 0 О(Х)= О(Г). Или * 0 Тогда можно сказать, что в первом случае переменная y может быть проигнорирована по сравнению с переменной x, а во втором случае переменная x может быть проигнорирована. Степень производной определяется по формуле (В VII-3） Она написана на основе (Sh-6).
Коэффициенты (см. II1-4) опущены, поскольку они не важны для оценки порядка величины производной (чаще всего учитываются производные 1-го и 2-го порядка). Выберите Скорость и линейный размер шкалы、 И затем… 1, / = я Но… 0 (w) −1 и 0 (x) −1 Итак, O (o^) = 1 и 0 (x ’) = 1. Можно найти порядок производной, исходя из полученной зависимости, с учетом (VI1-3) Да. (ля） .
Так как значение y в пограничном слое может варьироваться от 0 до 6(рисунок VI1-1）、 0 (y)= 6 Но… И затем… о(/)= 4 = в ’. Где 6 * — безразмерная толщина пограничного слоя. * Предположим, что толщина пограничного слоя 6 очень мала по сравнению с характерным размером I тела. (си） Здесь мы оцениваем порядок величины в уравнении (VI1-2).Начнем с уравнения неразрывности. Оба члена должны располагаться в одном порядке. Первый порядок основан на (А) порядке объединения.
То есть, 2-й член находится в том же порядке. О( «;)= 6 \ Оттуда, примите во внимание (b)、 •Только в этом предположении пограничный слой означает очень малую область течения, и на основе этого уравнения Навье-Стокса могут быть упрощены. Из полученной зависимости, принимая во внимание (b) Я… То есть величина w’ᵥ намного меньше 1 и может быть проигнорирована по сравнению со значением 1-го порядка.
Перепишите уравнение (VI1-2) с величиной каждого члена под уравнением dwx,, dw’x dp’! 1 / А2 Висконсин, А2 WX с . (В VII-4） — WX с ч -,/ DWX по ДТ ’ д ’ тай-топор — 1 Ре \ топор ’2 1 АУ’2)’ Я 1 Б ’и Д’ 2 я 7 6. ы я ы ДГ ДГ,/ ДГ’dr международный 1 / А2 Вайоминг a / (ax ’ 2 ′ ■w) (VII-5） АР-АВ ды а / ре d ’I d’ 1 до ’2 d’ 1 д’. д’х. ДХ х ду ’=0.(VII-6） Я. (Проект 2-й и 3-й члены первого уравнения сразу станут понятными. значение оси x составляет порядка 1.
Мы принимаем первый срок Ах? св. Имеет ту же степень, что и 2-й^ x ^ p.Такое предположение может быть сделано против потока, где внезапное ускорение не происходит[88].Далее рассмотрим член Формулы (VII-4), зависящий от вязкости. Основываясь на 6 * 1, мы сразу видим, что первый можно отбросить, потому что он намного меньше, чем второй.2-й срок(jy⁷?что это? Та же степень для члена инерции, то есть порядок единства задается — бл (VII-7） Снова.» Если число Рейнольдса внешнего потока Re =велико, то выполняется условие (VI1-7).
Для такого течения из условия (VI1-7)можно найти порядок толщины динамического пограничного слоя. ⁶ ’- Y = — (VII-8） Для дальнейшего изучения уравнение (VI1-4) сохраняет только члены порядка объединения. Рассмотрим 2-ю формулу (VI1-5, проекция на ось y).Хотя мы можем видеть, что все члены находятся в порядке 6、 Упростите, потому что член первого уравнения имеет порядок 1, поэтому 2-е уравнение исчезает. Из 2-го выражения следует〜= 6′, но если считать 6′ 1、 Или То есть давление жидкости по всей толщине пограничного слоя остается постоянным.
Распределение давления вдоль внешней границы пограничного слоя является функцией координат p ’(x’, t’), x ’и времени t’ и считается известным. Зависящий от давления член уравнения (VI1-4) может быть определен известной функцией распределения давления внешней границы пограничного слоя, и вопрос о том, следует ли оставить данное уравнение в (VI1-4), специфичен для отдельного case. In в нашем случае мы предполагаем, что он имеет один порядок, и поэтому оставляем его в уравнении(VI1-4). В результате упрощения уравнений Навье-Стокса (VI1-4), (VI1-5)и непрерывности (VI1-6) получены следующие формы уравнений в размерности: dh. (В VII-9）.
Больше При следующих граничных условиях： 1) если y = 0 wn = wy = 6; 2) y — + oowₓ=Wₓ (x, x) как、 Где U⁷-скорость внешнего потока вдоль оси X. Система уравнений (VI1-9), которую Прандтль впервые приобрел в 1904 году, называется уравнением пограничного слоя. В дальнейшем рассмотрим стационарную жидкость motion. In в этом случае −0, и уравнение в этом случае(VI1-9)имеет вид、 В ᵥ & wₓr ДХ ду * ’ dh. Ди /, сделать (V1I-10） Граничные условия можно отображать в следующих форматах 1) если y = 0, bj = wn = 0; 2) как / / — >°°wₓ-Wₓ(x).
Позвольте мне объяснить значение граничных условий. первый из них бесспорен, поскольку продольная составляющая скорости wₓ равна нулю, в силу условия, что при y = 0 она»прилипает» к стенке. Боковая составляющая скорости wy на поверхности стенки также равна нулю, поскольку рассматривается непроникающая стенка. Смысл 2-го условия заключается в следующем: продольная составляющая скорости должна входить в функцию ⁷⁷ = f (x), известную во внешнем потоке. переход к w2 wx осуществляется асимптотически, поэтому строго говоря он осуществляется в y°, но задача о толщине пограничного слоя теряет свой смысл.
Однако на практике значение достигает значения, близкого к\ VX(продольное обтекание пластины UwithX = = No. «).Например, очень тонкий слой может быть=0,99 Втₓ, и его толщина может считаться желаемой толщиной пограничного слоя. покажем, как можно найти распределение скорости Hx по внешнему краю ограничивающего слоя вдоль x. по этой причине рассмотрим случай стационарного потенциального течения вдоль обтекаемой пластины, когда поток скользит по поверхности (не прилипает).
В этих условиях термины, представляющие градиент скорости dWJdy и вязкость, являются negligible. In в этом случае уравнение проекции на ось x (VI1-1) принимает вид: Р ДХ (В11-11） Интегрирование (VI1-11); в результате получается уравнение Бернулли. п + — г / * = const и Два Вы можете найти желаемое распределение скорости W найти, решив уравнение Бернулли с учетом распределения давления потенциального потока.
Наблюдаемое на поверхности пластины распределение скоростей переносится на внешнюю кромку пограничного слоя, что происходит при движении вязкой жидкости по одному и тому же параметру потока вдоль одного и того же plate. In другими словами, делаются предположения, что граничные условия непроникающих стенок, омываемых внешней границей пограничного слоя и потенциальным потоком, одинаковы. В некоторых случаях это предположение может привести к серьезным ошибкам, так как пограничный слой оказывает существенное влияние на внешний потенциал flow. In в этих случаях распределение скорости (UZX =Дл) найдено экспериментально.
Это связано с тем, что соответствующее теоретическое решение является очень трудоемким или вообще не получается. Помимо системы уравнений (VI1-10) и граничных условий, некоторые Например, начальное сечение потока x-x₀, то есть зависимость wx = /(x₀.! /) Должен быть указан.* При решении системы уравнений(VII-10) граничные условия будут определять профиль скорости пограничного слоя. Другие площади поперечного сечения определяют, как профиль разворачивается для данного распределения давления и скорости во внешнем потенциальном потоке.
Система уравнений и граничные условия (VII-10) были решены точно впервые. G. dpldx-0, то есть Блазиус пограничного слоя, возникающий на вертикально обтекаемой пластине, когда давление вдоль пограничного слоя остается постоянным. Он нашел распределение скорости по толщине пограничного слоя. Однако даже в этом простом случае решение было трудоемким. Известны еще несколько частных случаев, в которых точное решение системы уравнений пограничного слоя является obtained. In в этих конкретных случаях исследуется взаимодействие потока с телом простой формы.
Но наибольший интерес представляет общий случай-взаимодействие потока жидкости с телом определенного shape. It есть такие задачи, которые встречаются в практике engineering. An разработан приближенный метод решения уравнений пограничного слоя. Рассмотрим метод, предложенный карманом. Преимущество этого метода заключается в том, что, помимо простоты, можно получить приближенное решение, даже если точное решение вообще невозможно.
- Этот метод сводится к решению интегральных соотношений к Армана, или, как его часто называют, интегральных уравнений пограничного слоя. Произведем упрощение уравнений Навье—Стокса (11-29, П-30 и П-31), имея в виду получить уравнения для исследования пограничного слоя. Сделаем это для простого случая двумерного плоскопараллельного потока, обтекающего пластину. Расположим оси координат на передней кромке пластины, тогда уравнения неразрывности (П-7) и .
Навье—Стокса (П-29 и II-30) для двумерного потока несжимаемой р = const жидкости имеют вид dwv dp ( d2® d2wx 1 М! Х. 1 1 дх ду P dx + vl dx2 dy2 дши dw» i dwy 1 dp + V( (d2 wv , d2 Wy дх + «’x-^+«’v ду P dy ( дх2 dy2 dwₓ , догу дх ду (VII-1) Упрощение уравнений (VI1-1) производится на основании оценки порядка величин, входящих в него, и отбрасывания малых. Количественное сравнение величин различной физической природы возможно только в том случае, если они представлены в безразмерной форме.
В качестве масштабов отнесения выберем для w скорость набегающего потока. Людмила Фирмаль
Переведем уравнения (VII-1) в безразмерную форму. W/ₒₒₗ для координаты х—характерный продольный размер /, для времени т — отношение, для давления р — удвоенный динамический на-* вс nop Уравнения (VII-1) в безразмерной форме с учетом Re— w I = можно представить в виде (VII-2) где штрихами отмечены безразмерные величины, а критерий Рейнольдса Re — величина безразмерная по определению, поэтому он не отмечен штрихом.
Оцепка порядка величин Дня выяснения сущности оценки рассмотрим простой пример. Пусть две переменных х и //, характерные для некоторого процесса, изменяются соответственно в интервалах: х — от 0 до х₀, а у — от О до f/₀, тогда говорят, что х определена как величина порядка х₀, а у — порядка yQ. В данном примере нам неизвестно ни одного текущего значения х и у в заданном интервале и речь идет только об оценке порядка значений переменных х и у.
Вместо слов «порядок переменной х равен х₀» или «порядок переменной у равен у₀* пишут О(х) = х₀ и О(у) = у₀, где О— первая буква латинского слова ordo — порядок. Пусть переменные х и у одной физической природы и по условию задачи Тогда О (//о) = О (х₀) и, очевидно, Если по условию задано -^»1 *0 О(х) = О(у). или *0 то можно сказать, что в первом случае переменная у пренебрежимо мала по сравнению с переменной х, а во втором наоборот. Порядок производной определяют из выражения (VII-3) которое написано на основании (Ш-6); множитель (см. II1-4) опущен как несущественный для оценки порядка величины производной (в большинстве случаев рассматриваются производные первого и второго порядка).
Теперь перейдем к оценке порядка относительных величин, входящих в уравнение (VI1-2). Выберем масштабы скорости и линейного размера так, чтобы Тогда 1,/= I. но 0(w) ~ 1 и О(х) — 1, следовательно, О(о^) = 1 и 0(х’) = 1. На основании полученных соотношений с учетом (VI1-3) можно найти порядок производной О (а) Так как величина у в пределах пограничного слоя может изменяться от 0 до 6 (рис. VI1-1), то 0(у) = 6, но тогда о(/)=4=в’. где 6 — безразмерная толщина пограничного слоя.
Примем, что толщина пограничного слоя 6 очень мала по сравнению с характерным размером I тела, т. е. (б) Теперь оценим порядок величин в уравнениях (VI1-2). Начнем с уравнения сплошности. Оба его члена должны иметь одинаковый порядок, по первый на основании (а) порядка единицы, значит и второй будет иметь такой же порядок, т. е. О(«;)=6\ откуда с учетом (б) получим • Только при таком допущении пограничный слой имеет смысл очень малой области потока, для которой на этом основании можно упростить уравнения .
Навье — Стокса. Из полученного соотношения с учетом (б) следует I, т. е. величина w’ᵥ много меньше единицы и ею можно пренебречь в сравнении с величинами порядка единицы. Перепишем уравнение (VI1-2) с указанием порядка величины каждого члена под уравнением dwx , , dw’x dp’ ! 1 / a2 wi , a2 wx . (VII-4) —h Wx— , / dwx дт’ ‘ дх’ ty — ax- 1 Re \ ax’2 1 ay’2 ) ’ I I 1 б’ I d’2 i i 7 6′ dw’y i dw’y , / dw’ др’ l 1 / a2 wy a / ( ax’2 ’■ w) (VII-5) ar’ av dy’ a/ Re d’ i d’ d’ 1 в’2 d’ 1 d’ dw’x dx h dy’ = 0. (VII-6) i i (проек-сЬу’ Сразу видно, что второй и третий члены первого уравнения цня на ось х) имеют порядок единицы.
Примем, что первый член а? dw’ имеет такой же порядок, как и второй ^х^р» такое допущение можно сделать для течений, в которых не возникают внезапные ускорения [88]. Далее рассмотрим члены уравнения (VII-4), зависящие от вязкости. Сразу видно, что первый из них можно отбросить, так как он много меньше второго, на основании 6* 1. Второй член (jy⁷? будет иметь одинаковый порядок с инерционными членами, т. е. порядок единицы, при условии ~ бЛ (VII-7) Re ’ ’ Условие (VI1-7) выполняется, когда число Рейнольдса внешнего потока Re = велико.
Отметим, что для таких течений из условия (VI1-7) можно найти порядок толщины динамического пограничного слоя ⁶’~Й=- (VII-8) Для дальнейших исследований в уравнении (VI1-4) сохраним только члены, имеющие порядок единицы. Рассмотрим второе уравнение (VI1-5, проекция на ось у). Видно, что все его члены имеют порядок 6′, тогда как все оставленные после упрощения члены первого уравнения имеют порядок 1, поэтому второе уравнение отпадает.
Из второго уравнения следует ~ = 6′, но, учитывая, что 6′ 1, можно принять или т. е. давление жидкости по толщине пограничного слоя остается постоянным. Распределение давления вдоль внешней границы пограничного слоя представляет собой функцию р’(х’, т’), координаты х’ и времени т’ и ее считают известной. Член, зависящий от давления в уравнении (VI1-4), может быть определен по известной функции распределения давления на внешней границе пограничного слоя, и вопрос о том, следует ли его оставлять в указанном уравнении (VI1-4), должен решаться для каждого конкретного случая отдельно.
Пусть в нашем случае он имеет порядок единицы и поэтому оставим его в уравнении (VI1-4). В результате упрощений уравнений Навье—Стокса (VI1-4), (VI1-5) и неразрывности (VI1-6) получены уравнения, которые в размерных величинах имеют вид дх (VII-9) кроме того при следующих граничных условиях: 1) при у — 0 wₓ = wy = 6; 2) при у-+ оо wₓ= Wₓ(x, х), где U⁷ — скорость внешнего потока вдоль оси х. Систему уравнений (VI1-9), впервые полученную Прандтлем в 1904 г., называют уравнениями пограничного слоя.
В дальнейшем будем рассматривать установившееся движение жидкости, для которого — 0, а уравнения (VI1-9) в данном случае будут представлены в виде, ᵥ &wₓ р dx ду* ’ дх ди/, ду (V1I-10) граничные условия могут быть представлены в форме 1) при у = 0 ьуж = wᵥ = 0; 2) при //-> оо wₓ— Wₓ(x). Поясним смысл граничных условий. Первое из них не вызывает сомнений, так как по условию «прилипания» на стенке при у = 0 продольная составляющая скорости wₓ равна нулю; рассматривается непроницаемая стенка, поэтому поперечная составляющая скорости wy у поверхности стенки также равна нулю.
Смысл второго условия состоит в следующем: продольная составляющая скорости должна перейти в известную для внешнего потока функцию й⁷я = f(x). Переход шх к Wₓ осуществляется асимптотически и поэтому, строго говоря, он имеет место при у оо, но при этом вопрос о толщине пограничного слоя теряет смысл. Однако практически величина достигает значения близкого к \VX (при продольном обтекании пластины U⁷X = = №».), например, = 0,99Wₓ в очень тонком слое, толщина которого иногда принимается за искомую толщину пограничного слоя.
Покажем, как находят распределение скорости №’х на внешней кромке пограничного слоя вдоль х. Для этого рассмотрим случай стационарного потенциального течения вдоль обтекаемой пластины, когда поток скользит (не прилипает) по ее поверхности. В этих условиях градиентом скорости dWJdy и членами, выражающими силу вязкости, можно пренебречь. Тогда уравнение (VI1-1) в проекции на ось х имеет вид р дх (V11-11) Проинтегрируем (VI1-11); в результате получим уравнение Бернулли. р + — У/* = const.
Пусть распределение давления в потенциальном потоке задано, тогда, решая уравнение Бернулли, можно найти искомое распределение скорости Wₓ. Найденное таким образом распределение скорости на поверхности пластины переносят на внешнюю кромку пограничного слоя, который возникает при движении вязкой жидкости вдоль той же пластины при тех же параметрах потока. Другими словами, делается допущение о том, что на внешней границе пограничного слоя и на непроницаемой стенке, омываемой потенциальным потоком, граничные условия одинаковы.
В некоторых случаях пограничный слой оказывает существенное влияние на внешний потенциальный поток, тогда такое допущение может привести к значительным ошибкам. В этих случаях распределение скорости UZX = Дл) находят экспериментально, так как соответствующие теоретические решения оказываются очень громоздкими или их вообще не удается получить. Отметим, что кроме системы уравнений (VI1-10) и граничных условий, должен быть задан профиль продольной скорости wₓ в некото ром начальном сечении потока, например, при х — х₀, т. е. должна быть задана зависимость шх=/(х₀, !/).
Решение системы уравнений (VII-10) и граничных условий сводится к определению профилей скорости в пограничном слое в других поперечных сечениях, определяют, как развивается профиль при заданном распределении давления и скорости во внешнем потенциальном потоке. Впервые система уравнений и граничных условий (VII-10) была точно решена. Г. Блазиусом для пограничного слоя, возникающего на пластине, обтекаемой в продольном направлении, когда dpldx ~ О, т. е. давление вдоль пограничного слоя остается постоянным. Он нашел распределение скорости по толщине пограничного слоя.
Однако даже в этом простом случае решение оказалось громоздким. Известно еще несколько частных случаев, для которых получено точное решение системы уравнений пограничного слоя. В этих частных случаях исследовано взаимодействие потока с телами простой формы. Однако наибольший интерес представляет общий случай — взаимодействие потока жидкости с телом любой заданной формы.
Именно такие задачи встречаются в инженерной практике. Для них разработаны приближенные способы решения уравнений пограничного слоя. Рассмотрим метод, предложенный Карманом. Достоинством метода, помимо простоты, является то, что он позволяет получить приближенное решение даже тогда, когда точное решение вообще невозможно. Метод сводится к решению интегральных уравнений пограничного слоя или, как их часто называют, — интегральных соотношений К А р м а н а.
Смотрите также:
