Уравнение линии

Уравнение линии

• Линейное уравнение /. Определение линии с использованием уравнений Рассмотрим функцию, заданную выражением Y = x \ (11) Эта функция и, следовательно, уравнение (11), соответствуют четкой линии на плоскости, которая является графиком этой функции (см. Рисунок 20). Из определения графика функции видно, что эта линия состоит только из точек на плоскости Оху, координаты которых удовлетворяют уравнению (11). Давай Y = Cx). (12)

То есть, если точка M (x \ y) находится на указанной прямой, ее координаты удовлетворяют уравнению (12). Если точка не находится на этой прямой, ее координаты не удовлетворяют уравнению (12). Выражение (12) допускается для y. Рассмотрим уравнение, которое содержит x и y и не решено для y>. Например, уравнение x2 + yy-4 = 0. (13) Эта линия показывает, что это уравнение также соответствует плоскости Окси.

Линия, которая является графиком этой функции, состоит только из точек на плоскости Оу, координаты которых удовлетворяют уравнению (12). Людмила Фирмаль

Другими словами, это круг с центром в начале координат и радиусе 2. Перепишите уравнение в форму # +? = (14) Левая часть x2 + yy представляет квадрат расстояния точки M (xyy) от начала координат (см. § 2, подраздел 2, уравнение 3). Из уравнения (14) квадрат этого расстояния равен 4. Это означает, что точка M (x \ y), координаты которой удовлетворяют уравнению (14) и, следовательно, уравнению (13), находится на расстоянии, равном 2 от начала координат. Геометрическое расположение такой точки представляет собой круг с центром в начале координат и радиусом 2. Этот круг является линией, соответствующей уравнению (13). Любые координаты этой точки,

Очевидно, удовлетворяет уравнение (13). Если точка M (x; y) не находится на найденной окружности, квадрат расстояния от начала координат xx- \ y будет больше или меньше 4. Другими словами, координаты такой точки не удовлетворяют уравнению (13). ,Теперь в общем случае уравнение F (xt y) = 0, Слева находится выражение, содержащее х и у. Линия, определяемая формулой определения (15), представляет собой геометрическое положение точки на плоскости Оу, координаты которой удовлетворяют этой формуле.

• Решение задач по высшей математике

Угол между двумя осями. полярные координаты	Преобразование координат
Функциональная зависимость	Элементы теории определителей

Примеры решения и задачи с методическими указаниями

Решение задач	Лекции
Сборник и задачник	Учебник

• Это означает, что если линия L определяется по формуле F (x, y) = 0, координаты любой точки в L удовлетворяют этой формуле, а координаты любой точки в плоскости Oxu вне L задаются формулой ( 15) означает не удовлетворение. Уравнение (15) называется уравнением для линии L. Замечания. Уравнение F (xy y) = 0 не должно рассматриваться как определяющее линию. Например, уравнение * 2 +! / 2 + 1 = 0 не определяет строку. Фактически, для фактических значений x и y левая часть этого уравнения положительна, а правая часть равна нулю, поэтому координаты точки на плоскости Oxu не могут удовлетворить этому уравнению.

Линии могут быть определены на плоскости не только уравнениями, включающими декартовы координаты, но и полярными уравнениями. Линия, определяемая уравнением F p, r) = 0 в полярных координатах Xy, представляет собой геометрическое положение точки в плоскости, полярные координаты которой удовлетворяют этому уравнению. Пример 1. Построение архимедовой спирали * g = asr для a = 2 Решения. Создадим таблицу некоторых значений полярного угла φ и соответствующих значений полярного радиуса r. f 0 я Зия I 5 я Зия 7л 2л 9л 5л 4 2 4 4 2 4 «4 2 Т 0 я ~ 2 ~ я Зия 2 2л 5л 2 Зия 7л 2 4л 9л 2 5л

f 11l Zia 13l 7l 15l 4l ll Zl TT 4 4 2 4 4 2 4 ^^ J1 ••• т 11л 6л 13л 7л 15л 8л -ТТ зл -2л 9 2 2 2 2 L 2 В полярной системе координат мы строим точку M0 (0; 0), которая четко совпадает с полюсом. Затем нарисуйте ось 11 по диагонали Для полярной = 4-полюсной оси построим эту точку оси M1 следующим образом: Фактические координаты / •, = —— 1.6, а затем построить Точки с положительными значениями для полярного угла и полярного радиуса / ˆ2, … (Оси этих точек на рисунке 30 не показаны).

Если вы соедините точки М0, МиМ2, …, вы получите одну ветвь кривой, как показано. 30 толстых линий. Людмила Фирмаль

Когда Φ изменяется от 0 до oo, эта ветвь кривой состоит из бесконечного числа витков. Затем нарисуйте ось 1r под углом φ, = — ^ относительно полярной оси и постройте точку M1 с отрицательной координатой r на оси 1X-> «-1.6. Точки M2, … строятся одинаково (оси этих точек не показаны на рисунке 30). Соединение точек Mnt Mlt Mg, … Вторая ветвь получается, как показано на рисунке 30 тонкими линиями. Следовательно, целевая кривая состоит из двух ветвей. Пример 2. На рисунке 31 показан кардиоид с формулой уравнения r = a (1 + cos f).

Найти линейные уравнения из геометрических свойств В рассматриваемом примере на основе уравнения мы нашли линию, определяемую этим уравнением. Обратная задача также возможна. Предположим, что прямая L на плоскости определяется некоторым характерным геометрическим свойством того, что все точки на этой линии имеют точки на плоскости, которые находятся за пределами прямой L, и не имеют.

В данной системе координат нам нужно найти уравнение, которое определяет эту линию, то есть уравнение, которое удовлетворяет координатам точки на линии L, но не удовлетворяет координатам точки на плоскости вне L. Это уравнение называется этой линией L уравнение. Координаты любой точки на линии L называются текущими координатами этой линии. Они зависят В дополнение к декартовым координатам, например, полярные координаты могут использоваться из выбранной системы координат. Форма линейного уравнения также зависит от выбора системы координат. Рассмотрим пример нахождения (выведения) уравнения для конкретной линии в декартовых или полярных координатах.

Пример 1. Найти уравнение окружности (декартова система координат) с центром в точке 01 (a \ b) и радиусе R. Решения. Круг определяется как геометрическое положение точки на плоскости, которая равноудалена от конкретной точки на этой плоскости (центр круга). Из определения окружности видно, что точка окружности M (x \ y) с текущими координатами x и y находится на расстоянии R от центра окружности O (a; b). Из уравнения (2) Y \ x-aG + (y-bY = R, Откуда (X-aY + {y-bY = R \ (16) Уравнение (16) является искомым уравнением для круга.

Очевидно, что координаты любой точки на данном круге будут его удовлетворять, а координаты любой точки на плоскости Оху, не находящейся на этом круге, не будут выполнены. В некоторых случаях, если центр круга находится в начале координат, a = 6 = 0 и уравнение (16) принимает вид: х2 -} — у1-R2. (16 ‘) В дальнейшем радиус окружности означает как длину линии, соединяющей центр круга, так и его точку и его длину.

Пример 2. Найти уравнение в полярной системе координат с радиусом с центром в точке Ox (0; a) и окружностью, равной a (рисунок 32). Решения. В качестве гипотезы, центр круга O является полярным углом (p = 0, полярный радиус r равен радиусу a целевого круга. Следовательно, этот круг проходит через полюс O, и один из его диаметров находится на полярной оси. Для точки диаметра A полярной оси cp = 0, r = 2a из прямоугольного OAM с любой точкой заданной окружности в виде M (φ; r), g = 0A-cos f или g = 2a cos f. (17) Уравнение (17) удовлетворяется полярными координатами любой точки на определенной окружности. Если точка не находится на этой окружности, вы можете видеть, что ее координаты не удовлетворяют уравнению (17). Это означает, что уравнение (17) является желательным.