Оглавление:
Уравнение Лангранжа второго рода
- Уравнение Лагранжа типа 2 1°.Обобщенная координата. Обобщенная сила. Рассмотрим систему материальных точек, подчиненных идеальной голономной связи. Обобщенные координаты-это независимые параметры, однозначно определяющие расположение точек материальной системы. Число степеней свободы в системе масс, подчиненных идеальным и голономным отношениям, будет равно числу независимых обобщенных координат. Механизм касания
и рукоятки система с 1 степенью freedom. As обобщенные координаты можно принять за угол поворота кривошипа, величина которого однозначно определяет расположение всех важных точек системы. Механизм дифференцирования конуса (рис. 157) представляет собой систему материальных точек с 2 степенями freedom. As независимая обобщенная координата, вы можете выбрать угол поворота<p, приводное колесо 1, и угол поворота несущей ABS, cp0, чтобы вращаться вокруг вертикальной оси. 。Значения углов поворота<p и<p0 однозначно определяют положение ведущего колеса
Полезная сила сопротивления приложена к барабану, с моментом направленным в противоположное направление к вращению барабанчика. Людмила Фирмаль
3. Радиус-вектор hl дает положение N-й материальной точки системы со степенями свободы, но в случае нестационарных соотношений он является функцией обобщенных координат и времени. И Да. О Рисунок 157. 400 к несчастью. Радиус города: барабан вращается вокруг неподвижной оси С, которая перпендикулярна плоскости рисунка. Выберите обобщенные координаты и определите соответствующие обобщенные силы. Нити считаются
расширяемыми, а их масса игнорируется. Коэффициент трения скольжения груза по наклонной плоскости равен/. Поэтому уравнения движения для целевой системы были составлены с использованием уравнений общей динамики в задаче 396 и 2 методов использования уравнений Лагрейджа в этой задаче. Сравнение двух приведенных методов показывает преимущества использования уравнения Лагранжа. Решите задачу n используя
- уравнение Лагранжа вместо формального введения сил инерции материальных точек системы и приведения их к простейшему виду и вычисления работы пары сил инерции относительно возможного смещения точек системы Необходимо найти обобщенную силу, составляющую лишь выражение кинетической энергии материальной системы и последующий расчет ее дифференциала. Задача 415.Решите задачу 397, используя уравнение Лагранжа. Solution. In решая задачу 397, было показано, что U-излучатель pci имеет 2 степени freedom. As обобщенные координаты, принимают угол a ом и на-стержне<p, где имеется шарик M и N в горизонтальной плоскости I (при вращении вокруг вертикальной оси регулятора),
а угол a ом и на-стержне < p и задача 4 и отклонение на-стержня от вертикали и K в положительном направлении Опорный угол показан на рисунке. Запишите обобщенные координаты c и a уравнения Лагранжа. д поразил Н ДТ-Ди-99 д ДТ _ _ ДТ _ _ Ф） ДТ да да〜• Заранее поставленная сила системы является следующим: P, вес каждого шарика, Pch соединение B вес и вращающий момент rnq сила пара, и упругая сила F весны направленная вдоль вертикали вина. проекция силы упругости на ось x определялась уравнением 397
После этого контроллер сможет обнаружить возможное смещение. Людмила Фирмаль
(2). Форекс-2С /(1-соз а). (2） Дадим контроллеру общее возможное смещение Sep и Sa, направленное на соответствующее увеличение угла поворота. Чтобы вычислить обобщенную силу, 8A возможно смещение, предполагая ноль, 8? ^ 0,8 а = 0. Это означает, что если угол a, образованный вертикальным стержнем OM и ON, постоянен, то регулятор получил угловое смещение 8 <p вокруг вертикальной оси. Вычисляет сумму работы заданной силы для обобщенного возможного перемещения Ver： 6 л = если bA = Qf8 <p, то: Скорострельный-(3） (Точка действия силы тяжести P движется в горизонтальной плоскости, поэтому она равна нулю. Точки силы*и F равны нулю, потому что точка приложения фиксирована.） Для
вычисления обобщенной силы Qa зададим регулятору возможное смещение 8a, учитывая, что возможное смещение 8 <p равно нулю:8a f. 0, 8 <p = 0. Эго означает, что относительно фиксированного значения угла поворота cp стержень регулятора OM и ON отклоняется от вертикали на угол 8a. Чтобы определить возможное смещение муфты B 8lhd, необходимо вычислить изменение выражения координаты xR муфты B через угол A. из треугольника oav видно, что xv = OV = 21 cos a. So … ВХ = −21 грех 8а. (4 )）
Знак минус указывает на то, что возможное движение муфты B вверх, если sin равно 8. Вычислить сумму работы заданной силы на возможном пересечении точек системы, соответствующей обобщенному возможному сдвигу 8а. В (5） (6） 8л = — 2л, sina5a-Джей-Р28лг0 + Fxbx (Коэффициент 2 в первом члене обусловлен тем, что регулятор имеет 2 шара.) Подставляя значения Lpn и Fx из формул(4)и(2), получаем: ба = — <2 [ПИИ + пи + 2 З / 2(1-соз а)] грех 8а. Обобщенная сила Qa — это коэффициент обобщенного возможного перемещения 8a по формуле (5). ОК =-2 [Ота 4-П4-Ф 2С / *(я-потому что
А)] А. грех Переходим к расчету кинетической энергии t controller. It состоит из 2 шариков M и N, а также 3 масс муфты B. м = Н1 «- ф г » 7ч). (7 )） Ки!{Кинетическая энергия шара, представляющая собой точечную массу, вычисляется по формуле (8） Где r> u-коэффициент абсолютной скорости для каждого из шаров M и N. каждый шар участвует в сложном движении. Угловая скорость φ-это вращение вокруг вертикальной оси регулятора, а относительное вращение вокруг горизонтальной оси O, перпендикулярной плоскости фигуры, — это угловая скорость 4.Примените теорему сложения
скоростей точек： МВС = <ВЭМ + ВРМ. В этом случае скорость движения шара VfM в определенном движении направлена перпендикулярно плоскости фигуры, veM = / = vrM в относительном движении Если VRM = \ OM \ wr = AA скорости vrM и bM перпендикулярны друг другу, найти 2 раза абсолютное значение скорости шара в абсолютном движении. Теперь кинетическая энергия шаров M и N, согласно формуле (8), принимает вид
следующего: учиться = 7 ^ 2)= RL в * ^ грех * я(9） Переносное вращательное движение угловой скорости 6 вокруг вертикальной оси регулятора и кинетическая энергия муфты B, участвующей в относительном движении вдоль этой оси, описываются по формуле. 。^> = 4 J(10） возьмите производную по времени от координаты xn связи B относительно угла поворота d, чтобы определить проективное значение<vn на оси X. так как xn= 2 / cos a, vn <= xn =-2 / sin a * ft. Где выражение (10) принимает вид: Р») = грех- + 1(11） / г^
Кинетическая энергия регулятора T определяется путем подстановки значений формул(7) (7U), T {%1] и T {3}, определенных в(9) и (11). 2 часа, 9 вечера. 4\ Пиа*-\ — 2 пикселя-синоу на Один 7 + грех * А Ф (12） один. £ Вычислите частные производные кинетической энергии t относительно обобщенной скорости^и A. АР = 2Р,+ грех. ■Что? \ 1 г} Юд * г Получаем производную от полученного результата во времени. G 2P、 Я? §Н7+ irsin 1 а)?+ Т » грехов 2 — * г sin2a В * г г (13 )） Вычислить частный дифференциал кинетической энергии t,
определяемой уравнением (12), относительно обобщенных координат<p и A. (14） ДТ л ДТ РГА*. 0, 2P0 / 9. 0 и V- = 0, — v и — = — о * грех 2а — \ — — Ай грех 2а. Да г ч 1 г Формула（3）、（6）、（13）а подставив(14)в уравнение Лагранжа(1), получим дифференциальное уравнение движения регулятора с обобщенными координатами<p и A. о_ (15 )） ( / ) _ sin2 ajφ+ Син 2а = / ц0,-* — 2- это-грех 2а ч — = — А3 грех 2а- а) и 5 1 сказал он. г =-[р, + ПИ + 2ct *(1-соз а)| ы я н а. (16） Легко видеть, что дифференциальные уравнения (15) и (16) идентичны дифференциальным уравнениям (397) и (13) задачи. Как
и в предыдущем выпуске, эта проблема была решена двумя способами. Уравнения общей динамики (см. задачу 397) и использование уравнения Лагранжа. Если сравнить оба решения, то можно увидеть, что применение уравнения Лагранжа более эффективно, а кроме того, нет необходимости использовать формальные приемы, связанные с введением силы инерции. Задача 416.It показан механизм механической отделки. Конические шестерни 1 и ведомые шестерни 2 вращаются вокруг неподвижной оси. Коническая шестерня 3 <называется сателлитом, она передает вращение 01 колеса 1 на колесо 2 Фиксируется вокруг вертикальной
оси. Сообщая различные угловые скорости кривошипа АОС и колеса U, можно получить требуемые угловые скорости вращения колеса 2.2 силы с крутящим моментом t0, 2 силы с кривошипом АОС, 2 силы с крутящим моментом tx, 2 силы с валом колеса 2 приложенные полезные моменты сопротивления tg(см. рисунок а).Колеса I, 2 и 3 считаются круговыми однородными дисками с массами P, P9, P3 и радиусом T|, r9, r3 (в рассматриваемой конструкции он равен r {r2) соответственно.
АОС определяет угловое ускорение кривошипно-конических зубчатых колес 1 и 2.Сопротивление массе и движению кривошипа AOS игнорируется. Решение. Из условий задачи видно, что механический дифференциал является системой с 2 степенями свободы. В качестве независимой обобщенной координаты выбирают угол поворота кривошипа АОС вокруг вертикальной оси АО (cp0) и угол поворота колеса/вокруг соответствующей неподвижной оси. Угол поворота ведомого колеса 2 равен Уравнение Лагранжа для обобщенных
координат, то получим 8rD = r28: p2.So r48(pa = 2r / 8 ′ f0, whice 8 ^ = = 28 <p0(2） (Согласно гипотезе r2 = r1). Обобщенные возможные перемещения 8 <p0: 8.4 = / 7 * o8?О- Так как направления m <i и 895 противоположны, то работа сил пары момент t2 отрицательна. Учитывая выражение (2), получим: (3） 8 A =(mQ-2w3) 8av0- Так как колесо 1 неподвижно, то работа пары сил с моментом tx будет равна работе пули. Дождевая пуля работает в силе Р и Р9.Потому что точки их приложения не двигаются.
Действие силы R1 равно силе пули, точки приложения которой движутся в горизонтальной плоскости, а сила Ra-в вертикальной. Обобщенная сила Qn-это коэффициент, который находится в OO в уравнении (3). <39°= / n0 — (4） Чтобы вычислить обобщенную силу Q, мы даем обобщенное возможное смещение 8 <p, предполагая, что & p0 равно нулю. = 0. Это означает, что при фиксированном кривошипе AOS колесо получило возможное движение S’fj. In в этом случае колесо 2, проходя через колесо 2, получает равное движение величиной 8av2.Направление и другая сторона: = следовательно,
совпадающее направление. Вычисляет сумму работы заданной силы для обобщенного возможного перемещения БА = МФА-1-м-жир = с — J — / У4) ФГ. Если вы хотите сделать это, вы можете использовать следующее (?） Q9i = м {округа ^ Переходим к расчету кинетической энергии Т механической differential. It состоит из 3 конических зубчатых колес/, 2 и 3 (пренебрежимо малая по предположению масса
кривошипа АОС). Т = Уч)_! _7 *(а) в (6） Кинетическая энергия колеса / неподвижной формулы для вращения вокруг вертикальной оси задается формулой: (7 )） Где / 1-момент инерции к оси вращения колеса J. Кинетическая энергия колеса 2, которое вращается вокруг неподвижной вертикальной оси, равна、
1.2-момент инерции к оси вращения колеса 2. Для расчета кинетической энергии колеса 3 используйте следующую формулу: МЗ = ivvc + 1(/> х + ^ + / ЗР (0 ′ −2–2 ВТ ДОЛГОТЫ、 Где©c-скорость центра тяжести колеса wv、 Абсолютная угловая скорость o) подвижные координатные оси x, y, g на колесах 3 a, 13x, / Lu, / Lg-осевой момент инерции,/ 3, x, / Zx-центробежный момент инерции Колесо меньше
5 для соответствующих осей. Выберите начало координат оси центроида колеса 3 C. укажите вертикальную ось g горизонтально вправо вдоль относительной оси колеса 3, а ось y, а следовательно, и ось x, перпендикулярно плоскости рисунка. При аналогичном расположении координатных осей легко заметить, что они являются главной осью инерции колеса 3(колесо 3, а также колесо/и 2, считаются однородными круговыми дисками).Результат、 = / ^. = 0, и формула для расчета кинетической энергии колеса 3 т [’л) упрощается. 7″ » =1А^ +1 (/«ш+/, v, 0j.(9） для расчета wv, shu
необходимо определить абсолютную угловую скорость колеса 3.Колесо участвует в переносных вращательных движениях угловой скорости вокруг вертикальной оси и относительных вращательных движениях вокруг оси симметрии колеса 3. давайте представим наблюдателя в провернуть операционной системы, чтобы определить, Вт. Для этого наблюдателя, этот чудик, кажется, не двигаться. Как следствие, относительную картину движения представляется глазу наблюдателя. Колеса/, 2 и 3, по-видимому, вращаются вокруг неподвижной оси(см. Рисунок C).Напишите зависимость между относительной угловой скоростью колеса и радиусом. Ин ый> Ин гл» Где ω, ω’.)) обозначает угловую скорость
колес/, 2 и 3 относительно кривошипа, вращающегося с угловой скоростью ω0.Однако 2-я дробь имеет знак минус, и если учесть пропорции вместе, то необходимо указать разные направления движения колеса/и относительную угловую скорость движения колеса/. 2.In факт、 Мл.） если бы непев жил в другом месте, то это было бы: — =- Условия r. 2 = для r1, a>(f> = = — CC) = = co0, а для coco1-ω0, o).2 =2ш0-ω, то есть =(Ю） Из первой дроби определите относительную угловую скорость»•/ » колеса 3： / «(| Гг)= т«(о).2-О)
0）、 ч’3 Возмещение (?.- ? «) •(Р） Р \ Направление масла указывается кружевом. е. Для добавления жесткого вращения вокруг пересекающихся осей применим icopevy к колесу 3: ioa — <> e + o > r(см. Рисунок? это не. Теперь нетрудно вычислить проекцию абсолютной угловой скорости G).x), колесо 3 па на оси y-z, плотно соединенное с ним. 0, Ву = — си/’, — со*). Принимая во внимание формулу (11) и отмечая ее=φ0, получим: о) = 0,о>>, =—(ти — > о ^ = Введем эти значения 0 и φ и получают производную полученного результата по времени. Мы это выясним： я£= + + + /—））»-（2 /、+ liy-r±) — ЗУ
—)7г » y3g- 2г 1 ^ г> ’Б-2г’ 4г ’ Уравнение движения дифференциала (17) принимает вид: (18） ^ [8П <Р? + Р3(6rJ + РЖ) л? Или \ Б-2 * » * + + * = + (для p0 решите систему уравнений (18)и проверните кривошип. Определите желаемое угловое ускорение 4°С и 1 \ колеса. — И. Н. + МС КС + МН/ с ^- ’ КЛ-м *’ Именно такой образ. * А = РЖ = + Р3(ГФФ + РЖ)]、 М = 2Р ’+ р> р?, Л = п— 2М з = мл + Ми. Используя формулу(10), вы получаете следующую формулу:$ 9 = 2?0 — подставив n в это выражение, получим искомое угловое ускорение колеса 2. .. _ _N (2L-M)+ 5(2L1- Р. Г1 Здесь Ku L1U IV D S имеет значение, описанное выше.
Решение этой задачи с помощью теоремы общей динамики сопровождается большими трудностями. Применение уравнения Лагранжа позволяет относительно легко получать дифференциальные уравнения движения, и опять же удобство применения уравнения Лагранжа при решении сложных задач динамики систем с несколькими степенями свободы.
] 1алодим： Л (/>)= — Pbr5 грех, (3） Л (Ф)= Связанные С FBR, (4） БА (м с)= — фут. с8га. = — /П, потому что АБР (5） М(П)=0.（(5), поскольку в точке действия силы P является фиксированной、 БА (МС)= — МЦБ = п — Зин Ин.(8） Потенциальная энергия весовой силы Р (4) равна пуле. N » 2> =0.(9 )） Потенциальная энергия. P13; сила упругости пружины F равна P(3)= 2.Если подставить значение выражения (2)、 << А> =РР *(1-а°) 2. (10 )） Используя выражения (8), (9) и (10), запишите выражение (2) в следующем виде: = = P, sino -} — для R ’ 2(1-cos?2). (И） Для вычисления обобщенной силы объекта, обобщенная координата<p：
В9 =—[РХ с COS <р-п-2cr(1-соѕ?) 9). Обобщенная сила Q9 и объем вычислений, выполненных при расчете каждого варианта, примерно эквивалентны. Однако имейте в виду, что первый вариант может быть использован независимо от характера указанной силы, а второй вариант подходит только для потенциальных заданных сил. Задача 402.Кривошипно-шатунный механизм на вертикальной плоскости приводится в движение 1 парой сил с добавлением момента t к кривошипно-шатунному механизму массы P и длины r, P.
Кривошипно-шатунный механизм представляет собой систему с 1 степенью freedom. As обобщенная координата, выберите угол поворота ВС〜1)р с COS <Р & СР поэтому, если считать р ^ =-р, получим Ла (Р9)-piybyc = —П9 Джей, потому что СР 3 <р. (1) Формула（2）、（3）、（4）、а подставляя выражение основной работы силы момента m и силы пар Pb, Pb, P3 из(10), получим следующее: Иначе говоря Ноль ноль Искомая обобщенная сила Q? Обобщенное возможное смещение коэффициента уравнения (11). В
невозможно в этом вопросе、 Не все предварительно настроенные силы являются potential. In в этом случае потенциальная сила P » P. 2 и P3 могут определять соответствующую обобщенную силу.2-я часть обобщенной силы, соответствующая паре сил с моментом/; /, должна быть рассчитана так, как описано выше. Затем, чтобы определить нужную обобщенную силу, нужно добавить индивидуально рассчитанную формулу. В вопросе динамики курса»Теория механизмов и машин» обобщенная сила механизма называется «приведенной мощностью». Задача 403.Катушки веса P и радиуса R вращаются по прямой линии, не скользя по горизонтальной
плоскости. Нить намотана на центральную цилиндрическую часть катушки радиуса r. катушка приводится в движение силой F, которая направлена под углом a к горизонтали вдоль йодной нити. Определяет обобщенную силу, используя в качестве обобщенных координат боковые координаты центроида катушки С. Коэффициент трения качения катушки в горизонтальной плоскости равен / к- Решение. Поскольку положение всех точек в катушке однозначно определяется положением центроида C относительно неподвижной оси x вдоль горизонтальной плоскости, в катушках, вращающихся без скольжения вдоль плоскости, имеется 1 степень свободы. X, как
обобщенная координата, дает центр тяжести катушки, возможность перемещения горизонтальной оси вправо. 2. одна заранее поставленная сила приложена к катушке. P-вес катушки, F-сила, действующая в направлении вдоль нити. При добавлении к набору сила трения p направлена горизонтально в одном направлении. Из-за трения качения нормальная реактивная сила N горизонтальной плоскости смещается на величину плеча пары трения качения. Это и есть коэффициент.
Мгновенный центр скорости&находится в точке контакта катушки с горизонтальной плоскостью. Точка-это мгновенный центр speed. So … (1） Рассчитайте сумму работы заданных сил P и F, силы трения I \ p и пары трения качения, при этом возможное смещение соответствует обобщенному возможному смещению и rc. 8.4 = bA (P)+ bA (Frp)+ 8 A (t1L)+ 8A (F) (2） Точка C движется горизонтально, поэтому сила тяжести P равна нулю. О А (ч)=0.(3） Здесь мы выбираем фактическое смещение drc как возможное смещение(в этой задаче、 Связь стационарная).Тогда сила трения 8L (Frp) работы будет равна
нулю. Это связано с тем, что при действительном смещении скорость точки действия силы фениума/% Р перемещается вместе с мгновенным центром (скорость равна скорости пули).То есть сила трения будет силой, а значит и работа будет zero. So … м.)(=)%/( (4 )） Работа пары трения качения равна, но модуль произведения момента пары трения качения (mr k = NfK = PfK) равен 112.Возможное угловое смещение o -?Наматывать. Эта работа отрицательна Направление момента трения пары качения и возможного углового смещения изменяется на противоположное. М(ют. К)= — Р / К8? = — П / к ^. (5）
Примените формулу для расчета работы силы F lA {F)= F * br0 + m0 (F) 89、 Где b0-возможное смещение точки O в плане, рассматриваемой как полюс. Давайте выберем центр тяжести колеса полюса. И затем… БА(ф)= ф-о + МС (Ф) 89 = Fbrc потому что \ + Ф \ 89 см БГС См = р> в 09 = ~~、 К М(ф)= + БГС(б） Примените Формулы(3), (4), (o) и (G)для описания (2) в виде: +(7） Обобщенная сила Q является коэффициентом пропорциональности формулы OG (7). Р Проблема 404.Груз а перемещается по гладкой наклонной плоскости угла а относительно горизонтальной плоскости. Маятник веса прикреплен к грузу A. длина строки маятника/. 」 Выберите обобщенные
ие. Поскольку для определения местоположения массы необходимо задать 2 независимых параметра, рассматриваемая система имеет 2 степени свободы. 1. один параметр определяет положение груза A на наклонной плоскости, а второй параметр определяет положение математического маятника B относительно груза A. Возьмите начало отсчета O случайным образом и направьте ось s вниз по склону. От точки O, точка вниз по оси x вертикально. Угол, под которым маятниковые нити перпендикулярны, обозначается<p, учитывая, что маятниковые нити положительны в направлении от вертикали до против часовой стрелки. Выберите 2 обобщенные координаты для
этой материальной системы: 5 и 9.В соответствии с этими обобщенными координатами существуют 2 обобщенные силы: Qs и Qr Показывает силу установки системы. Px-вес груза, P4-вес маятника B. Она не должна показывать силу реакции сцепления, так как все соединения, приложенные к системе, идеальны(когда система движется, плоскость становится гладкой, а вытянутые нити растягиваются). Дает системе 2 независимых обобщенных возможных перемещения. В формуле определения возможных перемещений БРК
обращает внимание читателя на то, что 1 член меньше формулы<vk, которая дает скорость точки. Это связано с тем, что возможным смещением является изменение функции. То есть он определяется против фиксированного значения аргумента T. Обобщенная сила Q,-(i = 1, 2,…, s) — коэффициент формулы суммы работы указанных сил при соответствующих обобщенных возможных перемещениях. Число
обобщенных сил будет равно числу обобщенных координат, то есть числу степеней свободы в системе(предполагается, что связи, наложенные на систему, являются идеальными и голопонными).Размерность обобщенной силы： То есть, они могут отличаться в зависимости от выбора обобщенных координат. Например, если обобщенная координата представляет собой объем, то обобщенная сила имеет размерность напряжения. Обобщенная мощность Q. вычисляется по формуле н Где n-число точек, s-число
степеней свободы, а Fk-результат действия заданной силы, приложенной к n-й точке системы. Представление обобщенной силы Qt проекцией заданной силы на ось декартовых координат имеет вид、 н Н __ В (Р; ДХ (Ф 0yhJ_F d2k Ци-л в КХ * ти-Гky до 1 * КЗ йй \ К = Л Учитывая независимость возможных перемещений 8s и 8av, при вычислении суммы работы заданной силы, задают системе возможное перемещение, соответствующее искомой обобщенной силе, а возможные перемещения 2-го считаются равными пуле. Итак, чтобы определить обобщенную силу Qs, возможны смещения
в системе os и 8?Это дает вам много options. It считается равным нулю. 8 секунд f 0, а? = 0. Это означает, что при фиксированном значении угла поворота маятника о вся система, состоящая из нагрузки а и маятника в, постепенно движется с ИС. В сумме работы заданной силы P возможное смещение cis имеет вид БА = П, 8С•грех — {- P2Ss * Син А =(Р, Р9) грех как. (!）
Чтобы определить обобщенную силу, мы даем системе возможное смещение 8
= — п, ссин собой.(4 )） Аналогично, я получаю IL » 2)= — P4l:<*. х, я = РЯ = 0d с — \ — Де = с грехом ол — ^ 1, потому что СР、 П(4)= — Р2(с грех 4 — / соз®). (5） Примените Формулы (4) и (5), затем напишите (3) и pide. П=-(Р,• -) — P4) 5 sin a-Р2 / cos теперь вы можете легко определить желаемую обобщенную силу. М,= — Г = — ^ [- (Р, — ’ \ РФ) с грех-Р, / Кос =(П+ а) грех、 В9 = — Ф = — у [- (РІ-Р М) ООО 《. — Пи Джей, Кос? / =- м / СР грех. Решая следующую задачу, мы можем объяснить обоснованность применения этого метода расчета обобщенных сил в случае систем с несколькими степенями свободы, в которых существуют только потенциальные заданные силы. Задача
405.Установите 3 диска в герметичный горизонтальный эластичный вал на одном конце ступени. Если центр тяжести диска находится на геометрической оси вращения, выберите обобщенные координаты и определите соответствующие обобщенные силы. Модуль упругости вала равен S. Решение. В этой системе есть 3 степени свободы. Указывает угол поворота диска, соответственно.9, cp9 и
социальная природа Формулы (1) bx-это обобщенная сила Qx. QX = R Предположим, что 8sΦ0 и bx = = op = 0 определяют обобщенную силу Qs. Это означает, что цилиндр неподвижен относительно призмы и платы относительно горизонтальной плоскости. Только плата, соединенная с цилиндром, движется вниз по боковой наклонной плоскости призмы 8s. Например, сумма работы всех сил, приведенных с возможным смещением в 8 секунд, записывается в виде 8 A = ( / > , + / > a) 8-секундный грех a. (2） Действие сил F и Px равно действию пули. Смысл действия этих сил в том, что они не движутся. Обобщенная сила Qs — это коэффициент,
представляющий собой 2s формулы (8). М,= (/Ви〜П3) грех. Переходим к расчету обобщенной силы Qn. So будем считать bnΦ0, bx = b $ = 0. Это означает, что призма неподвижна относительно призмы и горизонтальной плоскости, а поскольку душ перемещается относительно доски, его центроид C перемещается вниз вдоль оси n до 8l. Рассчитайте величину работы заданной силы на возможное перемещение Ln. БА = P38l грех. (3） Сила F, P и P. 2 задания равны нулю. Потому что точки действия этих сил не двигаются. Обобщенная сила Qn-это коэффициент, который находится в cn в уравнении(3). Дя = Пт греха я. Поэтому необходимая обобщенная сила имеет
следующий смысл: Ц = ф, Qв =(Р9-п-Р3) грех,= А. грех 2 \ обобщенное уравнение динамики в обобщенных координатах.2-й вид уравнения Лагранжа. Общая формула динамики системы масс н Х(ФК-mbwk).СРК = 0 к»■я В обобщенных координатах существует форма. [д ДТ N\, д / д ДТ от N \ ,. 。 * / д ДТ от Где Q гв. QS является обобщенной координаты, КЖ} дь QS является обобщенной скоростью, и hqb непосредственного обращения обобщен Смещение системы-это
изменение соответствующих обобщенных координат Q, Q. lfQs-обобщенная сила системы, T-кинетическая энергия системы. Для систем, подчиненных полому насосу, bqy, 8q. поскольку 2i bqs является независимым обобщаемым перемещением, общее уравнение динамики удовлетворяется только условием, что коэффициент, находящийся в возможном перемещении, равен пуле. д ДТ _ ДТ _ ДТ Н йй \ dqt-КЖ> dT_dT_n д ДТ Д <1, 0,б- (в *） Д ДГ ДТ 0qs dt Ws = СМО- Уравнение (l) называется уравнением Лагранжа типа 2) * если на систему наложена голономная зависимость, то число уравнений Лагранжа будет равно числу
независимых обобщенных координат, то есть числу степеней свободы. Система (1*) состоит из 5 обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка. Куда? Если это не идеальная сцепка, наложенная на материальную систему, например, имеется негладкая опорная поверхность, то при расчете силы, обобщенной по формуле, можно рассчитать силу. ч-я Необходимо понимать не только заранее заданную силу трения, но и силу трения. Если сила, действующая на систему, имеет потенциал, то обобщенная сила будет равна
частной производной, взятой в обратном знаке. Если заданная сила системы скрыта, то уравнение Ла-Грайга можно записать в виде: д ДТ Д1-д \ ДТ д-4 \ dqt dqt> d dT dT_ да d’Ant C \ dq3 Ws * д ДТ dT = _dP ДТ б ’ д ы в DQS DQS с ’ * ) Такого рода уравнение Лагранжа класса 1 не рассматривается. Таким образом, приведенное ниже уравнение Лагранжа типа 2 называется просто уравнением Лагранжа. Вводя Лагранжеву функцию Lt, равную разности кинетической
и потенциальной энергий, для L = T — P уравнение (2) принимает вид: д 0L » dl_ » в ^ Йй \ DQL по ~ ’ (3 *） д дл _ дл n ДТ йй, ’dq3’ д дл дл _ г ДТ служб DQS DQS с Трудность решения задачи динамики системы материальных точек с 1 степенью свободы заключается, в частности, в успешном выборе соответствующей общей теоремы динамики. Для систем с некоторыми степенями свободы решение задачи значительно сложнее, так как решение задачи требует совместного применения общей теоремы и других кинематических relations. In в таких случаях наиболее удобно использовать уравнение Лагранжа. Уравнение Лагранжа является универсальным методом
для составления дифференциальных уравнений движения материальной точечной системы. Большое преимущество уравнения Лагранжа состоит в том, что при наличии идеальной голономной связи сила реакции связи не учитывается. (При применении других методов решения задачи сила реакции связи должна быть исключена из системы составляющих уравнений при решении задачи.）
Динамика системы уравнений, полученная выше при решении большинства задач, может быть выведена непосредственно с помощью уравнения Лагранжа. В зависимости от условия задачи, когда необходимо найти реакцию связи, уравнение Лагранжа используется для определения точки ускорения системы, применяя принцип освобождения связи к соответствующей массе системы и используя либо теорему общей динамики, либо метод
кинетической статики. При решении задач в динамике, когда нет четкого плана применения тех или иных теорем, необходимо отказаться от использования уравнения Лагранжа. Все вышесказанное не умаляет важности теоремы в целом. Общие теоремы рекомендуется использовать при решении некоторых простых задач динамики (см. главу XI ниже). Составление уравнения Лагранжа следует проводить в следующем порядке: I) определяет число степеней свободы в материальной системе. ’> ) Выберите систему координат и введите число независимых обобщенных координат, равное числу степеней свободы. 3) определяет
обобщенные силы Q, Q, Qs системы, соответствующие выбранным обобщенным координатам. (Процедура расчета обобщенной силы подробно описана в пункте I настоящего раздела.) 4) вычислить кинетическую энергию t системы рассматриваемых материальных точек. 5) найти частные производные кинетической энергии в сумме 。 。 。 дециграмм Скорость<7 ″ Q. 2,.- Это jj -,^,… Рассчитайте их производные по времени. 0) определяет частные производные
кинетической энергии t по обобщенным координатам: qXt q4t qs, т. е. От DT EX йй: йй \ * службы DQS> 7) подставьте результаты, полученные в разделах 3, 5 и 6, в уравнение Лагранжа. Проблема 407.Уравнение Лагранжа используется для получения дифференциальных уравнений для вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. Решение. Твердое тело, которое вращается вокруг неподвижной оси, имеет 1 градус freedom. In дело в том, что для определения местоположения всех точек достаточно задать
1 параметр, например, угол поворота<p. выберите<p в качестве обобщенной координаты. направьте ось z вдоль оси вращения твердого тела. 1d-момент инерции твердого тела к оси вращения, A**|, а Fb Fn-заданная сила. Поскольку число уравнений Лагранжа при наличии идеальных и голономных ограничений равно числу степеней свободы в системе, то есть числу обобщенных координат, то в этом случае необходимо записать 1 уравнение Лагранжа для обобщенных координат cp： ДТ д} ЦОР к ч Дадим твердому телу обобщенное возможное смещение и вычислим сумму работы сил,
заданных при этом возможном смещении： 8-4 = 2 Сус 8? = [Тртп») J Я） к-1 к-я Обобщенная сила Q9 — это коэффициент, который находится в Формуле (2). Q,= X’M ^ a). (3） К 1 ноября. Кинетическая энергия твердого тела вращающегося вокруг неподвижной оси имеет следующий вид Вычислите частную производную кинетической энергии относительно обобщенной скорости ДТ, нет. А затем возьмите производную по времени от результата： д ДТ г Дж \ ДТ с = ’А — <С） Если выражение кинетической энергии T не содержит обобщенных координат cp, то оно выглядит следующим образом:
Уравнения(3), (4) и (5) 2-мерные уравнения Лагранжа (!) Подставляя), находим дифференциальное уравнение для вращения твердого тела вокруг неподвижной оси. £ ’М ^ а’. (с） к — = я В правой части уравнения(6) вместо суммы моментов всех сил ФК по отношению к оси вращения Z, мы можем заменить сумму моментов всех внешних сил Фэк относительно той же оси. На самом деле, число внешних сил входят, помимо указанных сил, только сила силу реакции опоры, которая в данный момент по отношению к оси вращения Z равен нулю(в силу реакции опоры приложена к оси
вращения Z).Так… Ил РНЗ(ФК)=тг (). к= * я к — » я Уравнение(6) принимает вид: «?»= £ Проблема 408.Уравнение Лагранжа используется для получения дифференциальных уравнений движения свободных материальных точек. Решение. Поскольку положение в пространстве определяется 3 независимыми параметрами, свободная материальная точка имеет 3 степени свободы. Нарисуем систему фиксированных осей декартовых координат и выберем декартовы координаты x, y, z точек в качестве их обобщенных координат. Число уравнений Лагранжа 2-го рода
будет равно числу степеней свободы массовой точки, то есть числу ее обобщенных координат. Обобщенные уравнения Лагранжа координат x, y, z описываются в виде: d_t_eg_ ДТ СТТ ДХ д dT_dT_p ДТ ду ду ~ ~ Чу н d_t ДТ ДТ Перейти к вычислению обобщенных сил QX, компания Ду, В. создать точечную массу, которая не зависит от возможного перемещения ьх, 8У, 8г. При определении модель QX, рассмотреть bxpO, 8У = поэтому 8R = 0.Сумма работы данной силы, приложенной к материальной точке, равна、 н
Обобщенная сила-это коэффициент при 8l. In Формула (1), то есть Модель QX =£Fkx- k = I Аналогично найдите остальные 2 обобщенные силы. М,=±ф — \ г. (3） До 1р К2 =£ k = I (2） Опишите формулу кинетической энергии массовой точки: T = — mv*, где m-масса массовой точки, А digf = м * ДТ д!- <4> Заметим, что кинетическая энергия массы T не зависит от обобщенных координат x, y, z、 ДХ ды-б£ — (о> Формула（2）、（3）、（4）и (3) присваивается системе уравнений Лагр <ня, и тогда мы получаем дифференциальное уравнение движения свободной материальной точки. п п п п п mx =ppkx>ГHkY> = X 17кг k = I k I fe ^ 1 Он от потенциальной энергии системы в соответствии с соответствующими обобщенными
координатами, т. е. dqi ’ Где r = 1,2,…、 Расчет обобщенных сил материальной системы является одним из ключевых этапов решения задачи с использованием 2-го уравнения Лагранжа. 1. Решение о обобщенной силе может быть осуществлено двумя способами: а)наиболее распространенным приемом является вычисление обобщенной силы в виде коэффициента, выражающего сумму основных действий данной силы и соответствующего обобщенного возможного displacements. In в этом случае расчет обобщенных сил следует проводить в следующем порядке: 1) исследуйте число степеней свободы в рассматриваемой системе масс и выберите
соответствующие обобщенные координаты. 2) показать всю настроенную мощность системы. 3)Если все связи, наложенные на материальную систему, не идеальны, добавьте к данной силе соответствующую реактивную силу связи (силу трения и т.). 4) число обобщенных координат, то есть равное числу степеней свободы в материальной системе, дающее системе независимое обобщенное возможное смещение. Проблема 409.It доказывается изохронизм колебаний циклоидального маятника. Решение. Маятник называется циклоидой и может быть отображен как материальная точка, которая движется по дуге окружности циклоиды. При решении задачи 284 учитывался математический маятник, в котором дуга является орбитой. Дифференциальный звук колебаний математического маятника, записанный в уравнении 284 (4)、 п + £ грех? = 0、 Где о-
угол отклонения маятниковой нити от вертикали, а/ — длина нити. В уравнении (II)той же задачи период колебаний математического маятника г = 2.: Ил(л + Tsinl 2 + элсинт 2-я -••••). Где а-угловая амплитуда колебаний. Таким образом, колебание математического маятника не имеет изохронных свойств, так как его колебательный период зависит от начального состояния движения, то есть от угловой амплитуды a. In в случае малых колебаний маятника, при замене sin дифференциальными уравнениями движения, только<p, характеристики изохронизма колебаний маятника были obtained.
In в этом случае периоды колебаний математического маятника примерно равны Колебания циклоидного маятника указывают на то, что они обладают свойством изохронности, в отличие от математических колебаний. К выпуску 409. Обычное представление о циклоиде связано с локусом точки А, которая находится на краю катящегося колеса без скольжения по рельсу прямой линии (см. рисунок а). Па рисунке б это колесо катится по рельсу на колесе без скольжения снизу. Движение точки А
является колебательным движением, что указывает на то, что ее колебательный период не зависит от начальных условий движения (конструкция циклоидного маятника обсуждается ниже). В качестве обобщенной координаты выберите угол<p, который образуется радиусом переменного тока в точке A и вертикальной линией. Как известно, вид уравнения циклоиды в параметрическом виде имеет вид х = Ай-грех <р, у-(я-потому что 9), (1） Где a-радиус колеса. Напишите соответствующее уравнение Лагранжа： ДТ ДТ 1 ′
Единственной указанной силой является масса груза, обозначаемая R. Потенциальная энергия Р массы выражается формулой: Р = ру = — ра ([- а (3） Виде обобщенной силы QF-это скорострельный ЖП. Вводя Формулу (3) выражение в эту формулу: Qv = Pasin <p. (4 )） Расчета кинетической энергии Т материальной точки. Т = \ МВ=] 2 м(Х9(5） Используя формулу(1), можно увидеть: х = а $ — ай с COS <р, г = АФ греха ср. Где выражение (5) принимает вид: Т = М (1-соѕ 9) 9 *. (си）
Вычислите частную производную кинетической энергии 7 ’для обобщенной скорости φ. = 2 maq (1-cos и рост нагрузки Б Б. легко видеть, ’3 Поэтому 8R = — р38 <ПС = ^ Р, 8 <пт. (2） ’Е’ Чтобы определить обобщенную силу Q9l, вычислите сумму работы всех заданных сил на возможное смещение точек системы, соответствующее обобщенному возможному смещению Ver. БА = М0 б <р [- P48r. Работа силовых Pb P9 и P3 равна нулю. Потому что точки действия этих сил не двигаются. Используя формулу(2), получаем: В результате
обобщенного перемещения 8 <pb, обобщенная сила Q9i, являющаяся коэффициентом выражения суммы основных работ данной силы, равна、 Qfl По = ^ о—r3p4. (3) ’ 2 Приступайте к расчету кинетической энергии материала! Система состоит из 2 шестерен, барабана и нагрузки B\ Γ= 7（、）+ 7 ’（4）+ 7 ^ +4). (4 )） Кинетическая энергия шестерни 1 7 ^ = 1 / ^(5）
5)для определения обобщенной силы Qi%, соответствующей i-й обобщенной координате qit, необходимо вычислить сумму работы всех заданных сил, включая силу реакции неполного соединения, с обобщенными перемещениями bqit. In кроме того, все остальные обобщаемые перемещения 8^, 8 ^ .8^,,.., скбд, ПБ равны нулю, т. е. bqtφ0,= БК±= … = 8 ^, = 8 4 = Р3 ++ 2Р <>(Λ(9） Кинетическая энергия системы T (p! ！- «•с」） Подставляя Формулы (3), (9) и (10) в уравнение Лагранжа (1), получаем дифференциальное уравнение движения лебедки для обобщенной координаты».. ’, / г.\ «О1） (Л + П. ^ + Л +Гротц В случае W: Pj-r^ ускорение груза B направлено вверх. в случае mQPiГ-ha ускорение нагрузки B направлено вниз. п0 = = Pk-ha, лебедка
остановлена, или вся масса движется Равномерно. Направление движения зависит от начальных условий движения. Эта задача также может быть решена с помощью дифференциальных уравнений для вращения твердых тел вокруг неподвижных осей. н / ?= 2 МЗ (ФК)> к = \ Это должно было быть составлено 2 раза.1 для шестерни, другое для остальной электрической ворота. Для Необходимо было мысленно разрушить эту систему в нижней части детали и зубчатой передачи/и 2 точках склеивания, заменив действие отброшенной части конструкции соответствующей реактивной силой сцепления. R, который составляет систему дифференциальных уравнений
движения, включает в себя силу реакции сцепления. Только после исключения этой силы реакции из результирующей системы уравнений может быть достигнуто уравнение (11).Преимущества уравнения Лагранжа, не содержащего реакции связывания, очевидны. Задача 411.Определите угловое ускорение коленчатого вала в вертикальной плоскости. Шестерня 2 внутренне зацеплена с неподвижной шестерней/.Колесо 2 использует кривошип OA для перемещения гайки, и применяется силовая пара с крутящим моментом от// / 0 до v. Вес кривошипа OA равен P, вес колеса
2 равен g2, радиус колеса 2 равен радиусу неподвижного колеса L Колесо 2 считается однородным круговым диском, а кривошип O / H-влажным однородным стержнем. Игнорируйте сопротивление движению. Решение. Поскольку угол поворота кривошипа ОА определяет все положения, планетарная передача имеет 1 степень свободы. Механизм действия point. As в качестве обобщенной координаты выберите угол 9, измеренный либо по горизонтальной оси, либо против часовой стрелки. Уравнение Лагранжа обобщенных
координат-Р41 0.4 [Кост и R. 0Л= 0&> — <<Р= = r, — ы, и 0C = 2 2 — = | / Гr, bA = — [2 /«—(P-J-2P.) (r,-r.) cos c? С. Если считать, что M = n, то можно найти обобщенную силу. Обобщенная координата ФК = „2“ [2 / В0- (Р + — Р4) ведь 9]. (2） Приступим к расчету кинетической энергии Т механизма. Сюда входит масса кривошипа ОА и шестерни 2 (шестерня 1 неподвижна). 7 * = 7 »» > — f(3） И затем…
Кинетическая энергия ползучести ОА, вращающейся вокруг неподвижной оси о, перпендикулярной плоскости фигуры, вычисляется по формуле= ^ — О-я-ОА ^ л-т ^ — СБР-момент инерции кривошипа. Так… (4 )） Кинетическая энергия шестерни 2, которая совершает плоское движение Найти скорость точки А, конечную точку кривошипа ОА. ба = \ ОА \ ч =(ГУ-б) х. (6） Рассмотрим скорость той же точки А, которая принадлежит шестерне 2, относительно мгновенного центра относительно скорости колеса. vA = a iP•u = r9sh2. (7 )） Если мы сравним формулы (b) и (7), то увидим следующее: г-г.
Два Момент инерции шестерни 2 рассчитывается по следующей формуле л (9) Если подставить выражения v5, coi и/ d из выражений (6), (8) и (9) соответственно, то выражение (5)будет иметь следующий вид: (У） Уравнения (3), (4) и (10) используются для описания уравнения кинетической энергии планетарного механизма. + *(ВТОРОЙ） Вычислите частную производную кинетической энергии t, но обобщенная скорость равна: dT 2P + NR、 СФ = — ЭИ -» -’»> -?В =(8)я• » А затем возьмите производную по времени от результата： Д ДГ ^ г + ОГ ^» Как- — — — (Т | Р<) *(, 2） Заметим, что кинетическая энергия
t системы, определенная в Омуре (11), не зависит от обобщенной координаты<p#. Формула（2）、（12）、（13）подставив уравнение Лагипа (1), получим дифференциальное уравнение движения механизма обобщенных координат cp. (уу-Р Джей?= Я [1м,-(Р + 2 / г (р — р) с COS <Ф]、 Принцип возможных перемещений в обобщенных координатах формулируется следующим образом: вследствие равновесия системы материальных точек, подчиненных идеальной и неподвижной связи, необходимо и достаточно, чтобы сумма обобщенных сил для соответствующих обобщенных возможных перемещений системы равнялась нулю.： Карты QMI + Qma По + … + Qfai + … + СМО ^ ы = а Где Qi-обобщенная сила, соответствующая j-й обобщенной координате. потому что bdit bdl является независимым обобщением Если существует возможность смещения, то уравнение справедливо только при его условии Ци = = М,= … = = КЖ = … = Qв = 0 Итак, в случае равновесия системы материальных точек все обобщенные силы будут равны нулю. Отсюда мы определяем
желаемое угловое ускорение кривошипа$ OA. — о р〜(р + 2пф) (р-ра), потому что г? — ^2Р + 9Р、• Равномерное вращение кривошипа выполняется при условии м = Дж (Р + 2Р) (Р-Р9), потому что»п. Задача 412.Механизм коленчатого вала ОАБ на вертикальной плоскости приводится в движение кривошипом пр, который добавляет некоторую силу к моменту пр. Px-вес кривошипа OA, G-длина — Г、- К выпуску 412. Кривошип, P9-масса шатуна AB, I-длина шатуна, Rl-масса ползуна. Кривошип ОА и шатун АВ считаются тонкими однородными стержнями, а ползун-точечной массой. Игнорируйте сопротивление движению. Решение. При решении задачи 402 мы ввели угол поворота < p кривошипа в качестве обобщенной
координаты и определили обобщенную силу Q. Да.） В9 = м—2 г (п+ Р9) потому что Виде уравнение Лагранжа в обобщенных координатах<Р £ДТ _ _ Н дидф Рассчитайте кинетическую энергию 7-го механизма, включая кривошипную, шаговую и ползунную массы, по формуле T = T1} + 7(* + T(3).(3） Кинетическая энергия 7’!Кривошип должен вращаться вокруг неподвижной оси O перпендикулярно плоскости фигуры ) ТЛТ = — Ио ^ 1.Потому что кривошип считается равномерным и тонким 1П Р9 Стержень, то/ o= — — — -, и. И так оно и есть.、 * С =И） Кинетическая энергия шатуна AB, который
совершает плоское движение t {<i、 = 4(5） ВК и к, обобщенных координат и обобщенных скоростей СР<?Она выражается в При решении задачи 402 определяли скорость и расположение мгновенного центра шатуна AB, а также вычисляли мгновенный радиус «А / соѕ 6 АЧГ = — равна точке потому что Альф, чтобы Если точка А принадлежит кривошипу ОА и Шатуну АВ одновременно,
то vA = r <? = | / ш *, где Г, потому что <С. / Га —г установите связь между cos f и углом cf. Из треугольника ОЛВ Яша / — 7 -= -, то Ю. г потому что ^ = К1-х «см * 9 =(1-Х1 грех’3 <р)2 я» 1 — ^ — Х4 грех ^ СР ^ грех(к)= Х Sin <Р, (7） Где X=^, и таким образом、 Один Два ^ 1 ««2 * 2» (l ~~ C0S 1 4 ′ 4 k’s cos Так… СОТРУДНИЧЕСТВО 1-4 4 ^ УДАРА ДЖ
Подставляя значение cos 0 из уравнения (6) (8), получаем: \ Потому что Сильф 1- ’ Ху + Х Х-соѕ 2? Первое слагаемое в уравнении (5) содержит скорость центроида с шатуна, умноженную в 2 раза. Это и есть формула ХС = \ ОА | потому что 9 \ АС] потому что ^ = Р потому что 9-й-ф — у присвоить значение, потому что <Дж>потому выражение (9), ХС = rcos СР +(1–4 +1 х * соѕ 2? ）、 Иначе говоря = Ж + р так? + ’8′); 2 / cos Откуда ■ * С = — Р(грех 9-(—^- х Sin 29 ^ 9.(11） Центр тяжести кривошипа и шатуна ОА расположен на их средней точке и имеет такую же ординату в конструкции Нам = язык yct = 2-си » б Откуда —
’Р£соѕ (О.- Если ввести значение xc и усов из Формулы (10) в формулы (11) и (12), то вы увидите следующее: В * = РМ(грех 9 + т х Sin 2?V-Ч Т потому что * * 9 (13 )） Формула (G) для Формулы ma и формулы (P) и (13） П /- И. Учитывая то, что мы получаем： g»»: = {3 [4 (грех?- Ф-ТХ грех + коси *] + Потому что — <Р + 7 6 *. (14） [t-4-l4-fVcos 2?） Кинетическая энергия T (i) слайдера B определяется следующим уравнением: чтобы определить vQ, вычислите горизонтальную ось ползунка. x0 = G cos 9-j-1 cos f. используя формулу (8), запишем: хD = Р потому что 9 + /(1-\ х * + Ix4cos 2 <п）、 Откуда%=■*»=-■Р(грех?+
Т Х Sin 2sP） Где выражение (15) принимает вид: Т ^ ы)= р ^ л (’грех?1 х журнал издается] 2av г Кинетическая энергия кривошипно-шатунного механизма рассчитывается по формуле (7), после подстановки значений T (a \ Tvl) и 7 «13 ’соответственно (4), (14) и (16). T = = &g {4Pl + P * I. 112 (sin f + 7 X sin) ’+ 3 COS’? + (16） ■Ф 12P3 [грех СР-Ф-Х Sin 29)9 с Ф9. (17 )） Cos2 <Р + + Л. >. потому что 2 <п И я собираюсь познакомить вас с нотацией / «Р = {4Л + FT я 12(грех?+1 x sin 2 *.(20 )） д^ ^ Вопрос?, значение^^ r и, соответственно, формула уравнения Лагранжа(2)（1）、（20）、（21） Если вы назначаете 7PR?+ М ф = Вт-4Р <р> + р *> с°с » С. От (21） Где/ pr определяется выражением
(18).Формула (21) представляет собой дифференциальное уравнение для движения кривошипно-шатунного механизма. Задача 399.Определить обобщенную силу в случае движения математического маятника массы р, Если длина нити равна/.Для обобщенных координат возьмем угол отклонения<p. Решение. Математический маятник представляет собой систему с 1 степенью freedom. To определив положение маятника, достаточно задать 1 параметр, например, угол, при котором струна маятника
перпендикулярна,<p. согласно условиям, в качестве обобщенной координаты выбирают угол поворота 9. Единственная сила которая заранее поставлена вес pendulum. It это идеальная муфта, потому что при движении маятника нити не растягиваются, а растягиваются. Задача 3 ′ на J9. К маятнику, угол увеличения которого<p, R. E. приведем обобщенное возможное смещение 89 против часовой стрелки direction. To определите обобщенную силу Q9, рассчитайте работу веса P маятника относительно обобщенного возможного перемещения 89. (Я） 8 L = — PI sin 9 89. Направление момента силы Р относительно оси Z является увеличение、
При решении обратной задачи, то есть при определении движения заданной силой, часто используется численное интегрирование, так как решение дифференциального уравнения (21) затруднено. В зависимости от состояния задачи необходимо определить закон изменения крутящего момента M. Это позволяет получить равномерный кривошип Bpauienne, или cf. Далее, она равна 3 = 0, и решение уравнения (21) относительно m дает следующий результат: Куда? + Xsin 2?(С COS <Р + lxcos 2?) 3(1 — » 4×3 + 4 х? C0S + 1-atx° — i C0S 2 ф— Предполагая, что 2RX -) — 2R [= 4P2-f-Pq P3, и принимая во внимание Формулу (2), мы видим: БА = [Н-λэ(4Pi + Р * + ^ З）] Поскольку точки
действия этих сил движутся горизонтально, то гравитационные работы P » Ra и P3 равны нулю. Действие силы тяжести P равно нулю. Это происходит потому, что точка его действия не движется. Затем в качестве возможного смещения выбирают действительное угловое движение барабана d г(с） Кинетическая энергия G (1) вращающегося барабана вокруг неподвижной оси рассчитывается по формуле:
Т 7 Рг2 10 = — так、 Кинетическая энергия постепенно движущейся платформы принимает форму −2 г в• Учитывая, что, учитывая нерасширяемость веревки a=, вы можете увидеть следующее: =(8） Колесо вагонетки сделает квартиру motion. So … R G Если момент инерции колеса равен/, = вращать — Я ЗГ. виртуальный канал Без проскальзывания vr = 5.Резьбовой стержень Ы ы ы ы Тельпо. J [если подставить значение этого vc в выражение (I)、 744)= 1.&r V + J ^ + £ (, 2） (6) Формула（7）、（8）、（9）и (12) к/(1), 7 ’(i \ T {<1) и 7 (4) для введения значений получим кинетическую энергию t исследуемой материальной системы： 7 = ячейка-радиус. машины. vag + 3, + £ 03） Приступаем к приготовлению Лагранжа equation. To для этого
мы вычисляем частные производные кинетической энергии t, но обобщенные скорости составляют φ и 5. ДГ Р + 12Р,+ 2PaF2P П£3Р, П、 Т 1 4г г АС 2#1 г т Если вы возьмете производную по времени, вы увидите следующее: ar_P 4-12П + 2 / а + ’ 2П. П ДТ с-2г Р д dT_ я ря с、 ^ Г-2 + < 14> Так как кинетическая энергия material материальной системы, определяемая формулой (13), не зависит от обобщенных координат cp и S.、 ДТ ДГ л （4）、（5）、（14）、подставляя и(15)в уравнение Лагранжа(1), получаем: Р + 12Р,+ 2Р, м-2Р, Р.? +£Шя (4П | п, П3）、 (16） — ?■^§- Ф Р? = Приблизительно. 1.Е Р Решая одновременно уравнения (5 и S) (16), можно видеть: = r—H aor,-h (jp, −2 /> TG ’ (Inlex
CP с обобщенной силой Q является координатой(ЛРН * — •3/л, — / — 2×3)^ ’о — / тр-н-б Р2 4 * па） o_9 а _ _ _ / 2 (При выводе этих уравнений предполагается, что/ = 0 a = s = 0.) Задача 414.Решите задачу 396, используя уравнение Лагранжа. Solution. In решая задачу 396, было показано, что рассматриваемая система имеет 2 степени свободы. В качестве обобщенной координаты возьмем линейную координату 5 |傾斜面に沿って下方に向けられたs. lt запишите уравнение Лагранжа для обобщенных координат S.{ ±dT_dT_p Д ДГ г dtdli 3s] — Дидди; Ди、〜 Заранее поставленная сила:Т 7 Рг2 10 = — так、 Кинетическая энергия постепенно движущейся платформы принимает форму −2 г в•
Учитывая, что, учитывая нерасширяемость веревки a=, вы можете увидеть следующее: =(8） Колесо вагонетки сделает квартиру motion. So … R G Если момент инерции колеса равен/, = вращать — Я ЗГ. виртуальный канал Без проскальзывания vr = 5.Резьбовой стержень Ы ы ы ы Тельпо. J [если подставить значение этого vc в выражение (I)、 744)= 1.&r V + J ^ + £ (, 2） (6) Формула（7）、（8）、（9）и (12) к/(1), 7 ’(i \ T {<1) и 7 (4) для введения значений получим кинетическую энергию t исследуемой материальной системы： 7 = ячейка-радиус. машины. vag + 3, + £ 03） Приступаем к приготовлению Лагранжа equation. To для этого мы вычисляем частные производные кинетической энергии t, но обобщенные скорости составляют φ и 5. ДГ Р + 12Р,+ 2PaF2P П£3Р, П、 Т 1
4г г АС 2#1 г т Если вы возьмете производную по времени, вы увидите следующее: ar_P 4-12П + 2 / а + ’ 2П. П ДТ с-2г Р д dT_ я ря с、 ^ Г-2 + < 14> Так как кинетическая энергия material материальной системы, определяемая формулой (13), не зависит от обобщенных координат cp и S.、 ДТ ДГ л （4）、（5）、（14）、подставляя и(15)в уравнение Лагранжа(1), получаем: Р + 12Р,+ 2Р, м-2Р, Р.? +£Шя (4П | п, П3）、 (16） — ?■^§- Ф Р? = Приблизительно. 1.Е Р Решая одновременно уравнения (5 и S) (16), можно видеть: = r—H aor,-h (jp, −2 /> TG ’ (Inlex CP с обобщенной силой Q является координатой(ЛРН * — •3/л, — / — 2×3)^ ’о — / тр-н-б Р2 4 * па） o_9 а _ _ _ / 2 (При выводе этих уравнений
предполагается, что/ = 0 a = s = 0.) Задача 414.Решите задачу 396, используя уравнение Лагранжа. Solution. In решая задачу 396, было показано, что рассматриваемая система имеет 2 степени свободы. В качестве обобщенной координаты возьмем линейную координату 5 |傾斜面に沿って下方に向けられたs. lt запишите уравнение Лагранжа для обобщенных координат S.{ ±dT_dT_p Д ДГ г dtdli 3s] — Дидди; Ди、〜 Заранее поставленная сила:
Все соединения, наложенные на систему, идеальны (так как наклонная плоскость должна быть идеально гладкой, на оси блока нет трения, а нити не растягиваются и не растягиваются). Для определения обобщенных сил QH и Q $ 2 приведем нагрузки A и B, соответственно, возможные перемещения SSj и направление, направленное параллельно линии максимального наклона наклонной плоскости в направлении увеличения координаты s.、％ Чтобы вычислить обобщенную силу QS, мы даем системе обобщенное возможное смещение Ss, предполагая, что [lsq равен нулю. Φ0,=(это
возможно, потому что » и ’ в являются независимыми обобщенными координатами.） Поэтому правая ветвь потока от нагрузки B, блока E и нагрузки B до точки N останавливается. Точка м нити получает вертикальное восходящее возможное движение Lm, размер которого равен Ss, поскольку нагрузка а может перемещаться вниз из-за отсутствия удлинения нити. Определите возможное смещение оси блока Sr0, принимая во внимание, что точка/ V нити накала остается в покое в то же время (см. Рисунок B).Это равно половине модуля модульно-способного перемещения 8gL1, то есть Ох 2.2 * Ж Рассчитайте сумму работы сил, приведенных к обобщенным
8 секундам, возможное перемещение точек системы, соответствующее возможному перемещению груза А. (В БА = РХ грех aZsi-(РВ + П6) б Рассматривая Формулу(2), можно увидеть: ал = [Р, грех-я(/> т + /> я)] та. (3） Гравитационная работа п. 2 равна пулевой, т. к.= 0, поэтому работы гравитации Р3 и Р4 равны нулю, т. к. точки приложения этих сил не перемещаются. Обобщенная сила QS1-это коэффициент, который находится в обобщенном возможном смещении уравнения (3). Под рукой-грех-у(П5 + П6). (Ля） Чтобы вычислить обобщенную силу Q $ 2, Дайте системе обобщенное возможное смещение Is, предполагая, что ОС равна пуле. Это
означает, что блок D груза а и левая ветвь нити а груза а находятся в точке М нити. Из-за нерастяжительного характера винта, из-за возможного перемещения нагрузки на ПА, точка N винта Излучает возможное смещение L ^вверх в вертикальном направлении. Это считается смещением и С. 3. размер равен модулю упругости. Учитывая, что точка нити M неподвижна в то же время, она выглядит так (см. Рисунок C）\ ^ О3 = =(5） Обобщенные возможные перемещения вычисляют сумму работы заданных сил на возможные перемещения точек системы, соответствующих ос4： BA = P,^ sin ft — (Pe + Pb) если рассматривать уравнение (5)、 БА = [Р4 грех? -я (П8-Ф Р6)] СУ4. (си） Работа гравитации Pt равна нулю, потому что s = 0.Работа
гравитации P3 и P4 равна нулю, так как их точки приложения неподвижны. Обобщенная сила QSi является коэффициентом в уравнении (6) os4. Вопрос, с = P4sin?^ Я(ЧП + П6). (7 )） Переходим к расчету кинетической энергии t материальной системы, состоящей из 6 масс: блоков D, E, K, A, B, L： м = ро ОКБ) 7(ч) Пи)пн _ [_ ППГ(г） Скорости нагрузки A и 8 fl направлены параллельно линиям максимального наклона наклонной плоскости. Проекция этих скоростей на ось s будет равна sx и s соответственно.2. Радиус блока D, E, K обозначается через r3, r4 и guard. In в этом случае угловые
скорости блоков O и E выражаются следующим образом: (9 )） Из-за не масштабируемости нити скорость Vm точки нити M равна скорости vA груза A. R>Λ1¥=£,.Аналогично: v / Wx = 9. использование рисунка очень просто. g, найти скорость движения оси Ov блока K>do plane motion： (10 )） Девять в Два Два Чтобы определить угловую скорость блока K, найдите скорость точки M и получите точку / V полюсов. Иначе говоря (vMN) x = 1 MN \ = 2rv£6, 2r3 ’?3 = .поскольку это v, угловая скорость блока равна K’. Кинетическая энергия груза а и в、 = 1 5. .В.], (П2） Рассчитайте кинетическую энергию блоков D
и E, которые вращаются вокруг неподвижной оси. Т© — 1 / А2 Т {Я> — я СВ2 1-2 пр™ » = 2 (Р р г р р р- \ = .: = Т ^ Дж Используя формулу(9) можно увидеть: Кинетическая энергия блока K, который совершает плоское движение, определяется уравнением Т [п) ВХ — / м 2 г 2 Подставляя значение момента инерции блока к、 Формула называется (10) и (11) и вы получаете: Кинетическая энергия постепенно движущейся нагрузки L равна、 Нравится 7 ’©=.- !-7) 0.. 2(г Примените формулу (10) для определения: 74.)= я J <.»Нет.»•(15）
Чтобы вычислить кинетическую энергию t материальной системы, вычислите массу системы（12）、（13）、（14）、и (15) уравнение кинетической энергии подставляется в уравнение (8).в результате вы получите: 7 = * J * + 4 j + — 1-t » H — — i§ * S+, 6-t(H +«) + +1 *в Y. 8 в Иначе говоря м _ 8Р,+ 4П,+ 3Pb + 2П, 8П» + 4П+ 3P5 + 2Po, ’ — интерфейс 4 *〜 +(16） Для составления системы уравнений Лагранжа 2-го порядка
вычислите частную производную кинетической энергии t относительно обобщенной скорости、 ДТ _ 8П,+ 4П, 4-4 СПР-2 Петр., компания P&+ 2Р0 и АСТ —% ^ LH, 8Pa + 4P <+ЗРБ + 2Р<. Получаем, P * + 2Pv, и производную по времени от полученного результата. 4 (7Г_8Р,4-4Р» +ЗР,4-2Р»г:, РВ4-2Р» * отд&т-11 (I dG _8, — f4P./ 4-ЗРГ-Ь2РН.. at ДТ ia_r ДСС ^ Будем считать, что кинетическая энергия t, определяемая формулой (16), не зависит от обобщенных координат 5!И затем、％ Формула（4）、（7）、（17）а подставив (18) в уравнение (1), получим уравнение Лагранжа 2-го порядка обобщенных координат、 8 / J » ++
2P’F,+ = P. Sin a −1(P, 4-L) (.Девять） + Ф,+ ^, если / = п, грех? — (Я,+ ПК). (20 )） Легко видеть, что дифференциальные уравнения (19) и (20) идентичны дифференциальным уравнениям (396) и (19) задачи. определение уравнения slt s \и wr = — Tm— б * Это приводит к результату, полученному при решении задачи 396.
Смотрите также:
Предмет теоретическая механика
| Принцип возможных перемещений | Приближенная теория гироскопа |
| Общее управление динамики системы материальных точек | Динамика твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной точки |
