Оглавление:
Уравнение Гамильтона-Якоби
- Уравнение Гамильтона-Якоби. § 43. Понятие действия как функция коор Ужин и время. Было показано, что частная производная по времени этой функции S (q, t) связана с функцией Гамильтона соотношением ^ + H (q, p, t) = 0, Частная производная по координатам согласуется с импульсом.
Замена импульса p функции Гамильтона на дифференциал dS / dq соответственно приводит к уравнению. -ds. И (ds ds * Ln (A * 7n \ + H (q1, …, qs; -; j = 0, Какая функция S (q, t) должна удовлетворять. Это уравнение в частных производных первого порядка. Это называется уравнением Гамильтона-Якоби.
уравнение Гамильтона-Якоби имеет вид Общий способ интегрировать уравнение движения Людмила Фирмаль
Помимо лагранжевых и канонических уравнений, . Возвращаясь к описанию этого метода, сначала напомним, что первое уравнение в частных производных имеет решение, зависящее от произвольной функции.
Такое решение называется общим интегралом уравнения. Однако в машинных приложениях основной Роль не является общим интегралом уравнения Гамильтона-Якоби, Так называемый совершенный интеграл — это имя решения уравнения в частных производных, которое содержит такое же количество независимых констант, что и число независимых переменных.
- В уравнении Гамильтона-Якоби независимая переменная ми это время и координаты. Так что для систем с По степени свободы полный интеграл этого уравнения должен содержать произвольную постоянную 5 + 1. Кроме того, поскольку функция S входит в уравнение только через свои производные, Тогда одна из произвольных постоянных включается в аддитивно полное интегрирование.
Полная интеграция уравнений Форма Гамильтона Якоби s = f (t, <? 1, …, qs; OS 1, …, as) + A, (47,2) Где cxi, …, cx5 и A — любые константы x). Здесь мы проясняем связь между полным интегралом уравнения Гамильтона-Якоби и решением интересующего уравнения движения.
в новые переменные и функции Выберите в качестве функции генератора Людмила Фирмаль
Для этого канонические преобразования из q, p / (Ј, q, σ) и выберите величину ai, (X2, …, cx5 в качестве нового импульса. Новые координаты обозначены s.
Потому что мы зависим от Необходимо использовать выражение (45.8). D). _ d / o _ df tg! _ T T I & f P r% ‘^ d o’ ’+ 3 t ‘ Но так как функция / удовлетворяет уравнению, Вы можете видеть Гамильтона Якоби, а затем исчезает и новая функция Гамильтона: я = я +! = я + х = ° — Таким образом, новое переменное каноническое уравнение является нефть = 0, (3r = 0, ots = const, (3 ^ = const. (47,3)
Между тем, уравнение S ^ doc = p6 * s-координата q может быть выражена во времени и 25 Постоянные os и (3. Поэтому находим общий интеграл уравнения движения. Следовательно, решение проблемы механического движения Система Гамильтона-Якоби сводится к следующей операции.
Функция Гамильтона составляет уравнение Гамильтона Он-Якоби является полным интегралом (47.2) этого уравнения. Продифференцируем по произвольной постоянной a, чтобы получить новую постоянную (3, систему алгебраических уравнений. E. = E. (».4) Решение этого находит координату q как функцию времени и 25 Любая константа.
Зависимость импульса от времени можно определить по уравнению = OS / dqi. Если существует неполный интеграл уравнения Гамильтона, Якоби, зависит от любой константы, меньшей s, но с ее помощью невозможно найти общий интеграл Хотя это уравнение движения, его можно немного упростить. Discovery.
Так что, если мы знаем функцию S ‘, которая содержит произвольную константу а, 8 секунд — = const доктор Дайте одно уравнение, связанное с gi, …, qs, t. Уравнение Гамильтона-Якоби занимает еще несколько Простая форма, когда функция явно не зависит от времени, то есть система является консервативной. Зависимость действия от времени — «Et: S = S0 (q) -E t (47,5) (См. §44) и заменяя (47.1) Уравнение действия Гамильтона-Якоби So (q) вида (47-б)
Смотрите также:
| Канонические преобразования в физике | Разделение переменных в физике |
| Теорема Лиувилля в физике | Адиабатические инварианты |
Если вам потребуется помощь по физике вы всегда можете написать мне в whatsapp.
