Упорядочение множества бесконечных десятичных дробей

Оглавление:

Упорядочение множества бесконечных десятичных дробей

Упорядочение множества бесконечно малых точек. Любая попытка дать строгое определение такому понятию неизбежно будет сведена к замене определяемого понятия соответствующим ему, поэтому при введении понятия действительных чисел, начиная с множества бесконечно малых чисел. Рассмотрим множество всех возможных бесконечно малых точек(как положительных, то есть со знаком+, так и отрицательных, то есть взятых со знаком—). Мы будем придерживаться нашего следующего плана. Вводит операцию упорядочения для всех наборов чисел, которые представлены как бесконечно малые. Затем, для введенных нами операций упорядочения, та же характеристика, сформулированная в п. 4, для

рациональных чисел (т. е. транзитивные свойства знака>и=). Существование только одного этого свойства мы сможем доказать замечательной теоремой о том, что множество чисел представлено бесконечно малым числом точек и множеством допустимых значений. Затем вводятся операции сложения и умножения числа, представленного бесконечно малым числом. Это дает возможность ввести в качестве такого числа действительное число, которое представляется бесконечно малым числом и определяет

операции упорядочения, сложения, умножения заданным образом. Доказанная Людмила Фирмаль

нами теорема о существовании точного лица позволяет доказать существование суммы и произведения двух вещественных чисел, а также для рационального числа, сформулированного в п. 16§1. Набор чисел, представленных бесконечным числом дробей. Давайте приступим к реализации этого плана. На этом этапе мы вводим операцию упорядочения для чисел, представленных в бесконечно малых числах, а для рациональных чисел в этой операции мы используем свойства перехода пунктов 4°(т. е. знак>и=).） Рассмотрим

любое число, представленное бесконечным * десятичным числом, отличным от 0,000…. Это число мы называем положительным от Ельни м, если оно представлено бесконечно малым числом, взятым со знаком+, а от Ризат Ельни м,•оно представлено бесконечно малым числом. Не положительным числом мы называем неположительное число,а не отрицательным числом-н е о т р и К а т ь н ы м И. Обратите внимание, что все рациональные числа относятся к набору чисел,

представленных бесконечно малым числом. 1) взять точку M, соответствующую заданному рациональному числу, на числовой оси и измерить ее путем измерения отрезка OM с помощью отрезка шкалы, указанного в пункте 2. В ходе средней школы доказано, что такое деление обязательно дает бесконечно малое число П Е Р и о д И Ч Е С К А я. Мы представляем наших читателей, чтобы убедиться, что оба эти метода эквивалентны друг другу. Поэтому в любом из этих способов рациональное число 1/2 помещается в соответствии с инфинитивным числом 0.5000…Рациональное число 4/3-это

бесконечная дробная часть 1,333…. Прежде чем перейти к формулировке правила порядкового числа, которое обозначается бесконечно малым числом, рассмотрим задачу представления в виде бесконечно малого числа рациональных чисел, выраженного в виде конечной дроби. Заметим, что такое рациональное число допускает d в виде бесконечно малого числа в l e n и I n R e d s t a. например, рациональное число 1/2=0.5 может быть представлено в виде двух бесконечно малых чисел 1) 1/2=0.5000…2) 1/2=0,4999…. В общем случае рациональное число a=A0, asch2… AP, где » M=0, можно записать в виде двух бесконечно малых чисел: 1) a=A0,Asch.2… ап000..,2)a=A0,asch2-

AP-1(AP-1) 999…. 236 каналов. 2. Действительное число Естественно, нам Людмила Фирмаль

нужно идентифицировать эти две бесконечно малые точки (т. е. мы предполагаем, что они представляют одни и те же действительные числа). Теперь рассмотрим два произвольных вещественных числа a и B и предположим, что эти числа представлены бесконечно малым числом a=±a0,aga2… АР., Б=± & о, BG2… PP..In каждое выражение, несколько вещей берется — +и из двух знаков, где (2.3). (2.3) когда обе бесконечно малые точки имеют один и тот же знак и служат двумя различными представлениями одного и того же рационального числа, представленного конечной дробью, то уже выше рассматривается, если после исключения этого случая выражение в виде бесконечно малого числа (2.3) имеет один и тот же знак, и если

цепочка уравнения «o= & C1, B1=A2=B2» справедлива,., АП=НП…. (2.4)поэтому мы называем два числа a и B R a в n s m,для их представления в виде бесконечного числа(2.3) одно и то же число, если цепочка эквивалентности действительна. Пусть даны два неравенства A и B, обозначаемые бесконечно малым числом. Установим правило, позволяющее заключить, какой из двух знаков,>или<эти числа связаны. Условимся называть число, представленное М О Д У Л Е М инфинитезималями, число, представленное теми же инфинитезималами, что и число А, но всегда взятое в знаке числа а, i число|а / не всегда отрицательно. 1) если оба

a и B неотрицательны, 2) если оба a и B отрицательны, 3) если оба a и B не отрицательны,а другой не отрицателен. 1) Сначала A K b с обоими n E o t R и C A t e l L n s, и имеет выражение a=A0, aha2…;B=B0, B1B2…. Поскольку числа A и B не равны, по крайней мере одно из равенств нарушается(2.4). Обозначим равенство / g наименьшего из чисел n, то есть AO=^o, » 1=61, что является нарушением AP-NP…. =По-1, АК=^ = БК.§1. Набор чисел, представленных бесконечным числом дробей. Затем предположим, что>в>БД иB, если / B / >|a|и aB. *При этом следует учитывать, что правила заказа уже определены(см. Пример 1). Таким образом, мы полностью сформулировали n R AB и l o u n o R i d O h E n и I числа, представленного бесконечно малым числом. Чтобы сформулированные правила были

полными с логической точки зрения (или, как говорят в математике, правильными), докажем следующие леммы: L em m a. если a=A0, a\A2….АР.- Любое неотрицательное число, и B’=BA, B]B2,…П^Оооо… И B » =B0, B1B2… …BP — (BP-1) 999… При N>0-два различных представления одного и того же рационального числа N, NX2…Если условие a < B ‘эквивалентно условию aB ‘ эквивалентно условию a>B». Эта Лемма заботится о числе, представленном конечной дробью, которая из двух возможных представлений берется в виде бесконечного числа, когда два знака неравенства упорядочены. Чтобы полностью доказать лемму, 1) aB ‘к a>B», 4)A>B к»A>B’ продолжить. Мы ограничиваемся доказательством того, что 1) и 2), 3) и 4) утверждения также доказаны. Пусть это будет An AKB'».

Преобразование Фурье	Операции над множествами
Доказательства сходимости рядов Фурье и другие вопросы	Вычисление тройного интеграла