Оглавление:
Универсальная тригонометрическая подстановка
Рассмотрим некоторые случаи нахождения интеграла от тригонометрических функций. Функцию с переменными и
, над которыми выполняются рациональные действия (сложения, вычитание, умножение и деление) принято обозначать
, где
— знак рациональной функции.
Вычисление неопределенных интегралов типа
сводится к вычислению интегралов от рациональной функции подстановкой , которая называется универсальной.
Действительно, ,
. Поэтому

где — рациональная функция от
. Обычно этот способ весьма громоздкий, зато он всегда приводит к результату.
На практике применяют и другие, более простые подстановки, в зависимости от свойств (и вида) подынтегральной функции. В частности, удобны следующие правила:
1) если функция нечетна относительно
, т. е.
, то подстановка
рационализирует интеграл;
2) если функция нечетна относительно
, т. е.
, то делается подстановка
;
3) если функция четна относительно
и
, то интеграл рационализируется подстановкой
. Такая же подстановка применяется, если интеграл имеет вид
.
Пример №32.1.
Найти интеграл .
Решение:
Сделаем универсальную подстановку . Тогда
. Следовательно,

Дополнительный пример №32.2.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
Дробно-рациональная функция |
Интегрирование рациональных дробей |
Интегралы типа sin m x cos n x dx |
Использование тригонометрических преобразований |