Оглавление:
Углы Эйлера. Уравнения вращения твердого тела вокруг неподвижной точки
- Три степени свободы, которыми обладает объект при вращении вокруг фиксированной точки, требуют трех независимых величин для указания положения объекта относительно произвольной системы координат. Эти три значения или параметры могут быть установлены различными способами. В теоретической механике наиболее часто используются так называемые углы Эйлера, описанные ниже. Нарисуйте фиксированную систему координат через твердую неподвижную точку O Стая учитывает движения тела (рис. 73).
Зафиксируйте другую систему координат Oxyz с помощью объекта, вращающегося вокруг неподвижной точки O. Как определить положение движущегося объекта относительно системы координат X (y1z1, позиция относительно этой системы координат должна быть установлена Другая — это движущаяся система координат Oxyz, связанная с движущимся объектом. Для этой цели Эйлер предложил три независимых параметра — углы Эйлера. Первый угол прецессии φ этих углов определяет положение узла ОК линии. Это пересечение координатных плоскостей Oxtyt и Oxu относительно фиксированной координатной оси Oxt. для Рис. 73.
Линеаризация дифференциальных уравнений позволяет получить замкнутые решения таких систем, и обычно невозможно найти Интеграл строгой нелинейной системы уравнений конечного вида. Людмила Фирмаль
Когда этот угол изменяется, тело вращается вокруг оси координат Ozt, называемой осью прецессии. Положение линии узла при перемещении объекта изменяется как по отношению к системе неподвижных координат Ox ^ r ^, так и по отношению к движущемуся объекту, движущейся системе координат Oxyz. Угол <| / от положительной части оси Ox до положительного направления линии узла OK считается положительным, если считать против часовой стрелки, если смотреть с положительного направления оси Ozt. Для положительного направления на линии узла OK выберите направление, в котором минимальный угол поворота от оси OzY к оси Oz можно увидеть против часовой стрелки.
Второй угол Эйлера — это угол между координатными плоскостями Ox ^ и Oxu. Это измеряется под углом 0 между нормалями к этим координатным плоскостям (оси Ozt и Oz). Если направление вращения оси Oz от положительного направления линии узла OK происходит против часовой стрелки, угол 0 отсчитывается от оси Ozt до положительной оси Oz. Угол 0 называется углом движения, а ось OK, на которую вращается тело при изменении угла 0, называется осью движения или узловой линией. Чтобы полностью определить положение рассматриваемого объекта относительно системы координат Oxly1zi, необходимо установить угол между осью перемещения координаты Ox и положительным направлением линии OK узла-соответствующий угол поворота φ.
- Угол φ от линии узла OK до оси Ox считается положительным, если вращение оси Ox от линии OK происходит против часовой стрелки вокруг оси Oz. Когда угол φ изменяется, тело вращается вокруг так называемой подходящей оси вращения Oz, перпендикулярной плоскости, где существуют прямые линии OK и Ox, образуя этот угол. Следовательно, угол φ определяет положение оси Ox координат движения относительно узла ОК линии. Рисунок 74 Прецессия f. третий Углы Эйлера широко используются в теории гироскопов. Движение гироскопа. Другими словами, симметричное тело, которое имеет фиксированную точку на оси симметрии и быстро вращается вокруг этой оси, обычно можно выразить как состоящее из трех движений (рис. 74): угол его собственного вращения sr изменить.
Вращение и движение гироскопа вместе с осью симметрии вокруг неподвижной оси Ozt, где изменяется угол, составляют ось симметрии, Участвуйте в прецессии, опишите коническую поверхность с вершиной в фиксированной точке и, как правило, опишите волнистую поверхность из-за изменения угла нутации 0. Если угол 0 не изменяется, коническая поверхность является конусом. Пересечение конической поверхности в плоскости, перпендикулярной оси прецессии, приведет к кривой с возможными узлами или точками возврата. Например, известно, что сфера выполняет движение прецессии и нутации в дополнение к собственному вращению вокруг своей оси.
Если Интеграл уравнения выполняется до указанного члена, а полученное решение принимается за первое приближение, то вместо эллипса получается открытая кривая, близкая к эллипсу первого поворота. Людмила Фирмаль
Особое значение в данной области техники имеет так называемая регулярная прецессия, когда угловая скорость вращения вокруг соответствующей оси вращения и фиксированной оси прецессии постоянна, а угол между этими осями (угол зажима) также остается постоянным. Это дифференциальное упражнение. Когда тело вращается вокруг фиксированной точки, во всех случаях все три угла Эйлера меняются: φ, 0 и <p. Углы Эйлера — это независимые параметры, которые характеризуют положение тела в одной фиксированной точке относительно фиксированной системы координат или обобщенных координат. Назначение трех углов Эйлера для объекта, который вращается вокруг фиксированной точки, как функция времени, необходимо и достаточно для полного описания движения такого объекта.
Поэтому, чтобы определить положение объекта с одной фиксированной точкой в любой момент времени, углы Эйлера должны быть определены как однозначная функция времени. Ф = Л (0; 0 = фф = Л (4 0) Уравнение (1) является уравнением вращения твердого тела вокруг неподвижной точки. Если эти уравнения приведены. Затем вы можете увидеть положение твердого тела относительно системы координат Ox1y1r1 в любой момент времени. Обратите внимание, что углы Эйлера — не единственная комбинация трех независимых углов для объекта с одной фиксированной точкой. Существуют и другие комбинации углов, которые определяют положение одной системы координат относительно другой.
Смотрите также:
Задачи по теоретической механике
| Теорема о конечном перемещении плоской фигуры | Теорема о конечном перемещении твердого тела, имеющего одну неподвижную точку |
| Мгновенный центр вращения. Центроиды | Мгновенная ось вращения. Аксоиды |
Если вам потребуется помощь по теоретической механике вы всегда можете написать мне в whatsapp.
