Цилиндрические поверхности
Поверхность, образованная движением прямой , которая перемещается в пространстве, сохраняя постоянное направление и пересекая каждый раз некоторую кривую
, называется цилиндрической поверхностью или цилиндром. При этом кривая
называется направляющей цилиндра, а прямая
— его образующей (см. рис. 83).
Будем рассматривать цилиндрические поверхности, направляющие которых лежат в одной из координатных плоскостей, а образующие параллельны координатной оси, перпендикулярной этой плоскости.
Пусть в плоскости лежит некоторая линия
, уравнение которой

Построим цилиндр с образующими параллельными оси и направляющей
.
Теорема 12.1. Уравнение цилиндра, образующие которого параллельны оси , имеет вид (12.21), т. е. не содержит координаты
.

Возьмем на цилиндре любую точку (см. рис. 84). Она лежит на какой-то образующей. Пусть
— точка пересечения этой образующей с плоскостью
. Следовательно, точка
лежит на кривой
и ее координаты удовлетворяют уравнению (12.21).
Но точка имеет такие же абсциссу
и ординату
, что и точка
. Следовательно, уравнению (12.21) удовлетворяют и координаты точки
, так как оно нс содержит
. И так как
— это любая точка цилиндра, то уравнение (12.21) и будет уравнением этого цилиндра.
Теперь ясно, что есть уравнение цилиндра с образующими, параллельными оси
, a
— с образующими, параллельными оси
. Название цилиндра определяется названием направляющей. Если направляющей служит эллипс

в плоскости , то соответствующая цилиндрическая поверхность называется эллиптическим цилиндром (см. рис. 85).

Частным случаем эллиптического цилиндра является круговой цилиндр, его уравнение . Уравнение
определяет в пространстве параболический цилиндр (см. рис. 86). Уравнение

определяет в пространстве гиперболический цилиндр (см. рис. 87).
Все эти поверхности называются цилиндрами второго порядка, так как их уравнения есть уравнения второй степени относительно текущих координат и
.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
Прямая линия в пространстве |
Прямая и плоскость в пространстве |
Поверхности вращения |
Множество действительных чисел |