Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Оглавление:

Тригонометрические уравнения различных видов

Примеры с решениями

Пример №153.

Решить уравнение

Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Решение:

Воспользуемся формулой

полученной в §4 (см. замечание к примеру 9). Тогда исходное уравнение можно записать в виде

Ответ. Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Пример №154.

Решить уравнение Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Решение:

Используя тождество

(см. §4, пример 5), запишем уравнение в виде Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения откуда находим

Ответ. Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Пример №155.

Решить уравнение Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Решение:

Используя тождество

(см. §4, пример 4, в), запишем данное уравнение в виде

откуда находим Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Ответ. Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Пример №156.

Решить уравнение

Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Решение:

Первый способ. Запишем уравнение (1) в виде

Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Так как Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения то уравнение (2) равносильно совокупности уравнений

Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Уравнение (3) имеет корни Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения а уравнение (4) сводится к однородному

которое равносильно уравнению

откуда Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Ответ. Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Второй способ. Уравнение (1) можно последовательно преобразовать так:

Дальнейшие действия очевидны.

Третий способ. Используя формулу Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения последовательно преобразуем уравнение (1):

Снова убеждаемся в том, что уравнение (1) равносильно совокупности уравнений (3), (4).

Пример №157.

Найти все значения Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения из интервала удовлетворяющие уравнению

Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Решение:

Так как Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения то ОДЗ уравнения (5) определяется условием , т. е.

Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

При выполнении условия (6) уравнение (5) равносильно каждому из уравнений:

Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Уравнение (7) имеет корни

Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Неравенству Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения и условию (6) могут удовлетворять лишь те значения , определяемые формулой (8), которые соответствуют значениям Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения , равным Придавая эти значения, по формуле (8) находим числа из которых лишь и удовлетворяют условию (6).

Ответ. Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Пример №159.

Решить уравнение

Решение:

Исходное уравнение равносильно уравнению

Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

а допустимые значения х для уравнения (9) определяются условиями

Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

При выполнении условия (10) уравнение

является следствием уравнения (9) и равносильно уравнению

Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Корнями уравнения (9) являются все те и только те корни уравнения (11), которые удовлетворяют условиям (10).

Так как Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения а силу (10), то из (11) следует, что

Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Корни уравнения (12) удовлетворяют условиям (10) и являются корнями исходного уравнения.

Ответ. Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Пример №160.

Решить уравнение

Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Решение:

Пусть Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения тогда и уравнение (13) примет вид

Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

1) Если Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения то из (14) следует, что Это уравнение не имеет корней. Поэтому уравнение (13) не имеет корней в случае, когда Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

2) Если Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения то из уравнения (14) следует, что откуда

Если Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения то либо , значит, либо , значит, Если то либо и, значит, либо и, значит,

Ответ. Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Пример №161.

Решить уравнение

Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Решение:

Допустимые значения Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения определяются условиями

Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Преобразуем уравнение (15):

Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Уравнение (17) является следствием уравнения (15), а при выполнении условий (16) оно равносильно уравнению (15). Применив формулу Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения запишем уравнение (17) в виде

или

Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

так как Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения в силу условий (16).

Используя формулу Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения преобразуем уравнение (18) к виду откуда Найденные значения удовлетворяют условиям (16) и являются корнями уравнения (15).

Ответ. Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Пример №162.

Решить уравнение

Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Решение:

Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Используя равенства

запишем уравнение (19) в виде

Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

или

Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

При выполнении условий (20) уравнение (22) равносильно каждому из следующих уравнений:

Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Применив формулу Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения запишем уравнение (23) в виде

Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Так как Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения в силу условий (20), то из (24) следует, что

Ответ. Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Замечание. Выразив Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения и через , преобразуем уравнение (21) к виду откуда следует, что или

Пример №163.

Решить уравнение

Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Решение:

Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

так как Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения если

Считая условия (26) выполненными, преобразуем последовательно уравнение (25):

Если Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения то Поэтому решение сводится к нахождению тех корней уравнений которые удовлетворяют условиям (26).

Уравнение Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения имеет корни

Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

а уравнение Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения имеет корни

Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения

Серия корней (27) удовлетворяет условиям (26). Для серии корней (28) условие Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения выполняется, а равенство

является верным тогда и только тогда, когда Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения где , — целые числа. Так как числа 5 и 9 взаимно просты, то число является целым в том и только в том случае, когда Тригонометрические уравнения различных видов с примерами решения где — целое число.