Оглавление:
Тригонометрические неравенства
Рассмотрим примеры тригонометрических неравенств. При решении таких неравенств используются свойства тригонометрических функций и их графики.
Примеры с решениями
Пример №303.
Решить неравенство
Решение:
Первый способ. Построим график функции 
и проведем прямую 
(рис. 25.1).
Решить неравенство (1) — значит найти все значения 
, при которых соответствующие точки графика функции лежат ниже прямой 
и на этой прямой.
Так как функция является периодической с периодом 
, то достаточно найти решения неравенства (1) на отрезке длиной . В качестве такого отрезка возьмем отрезок 
Прямая 
при 
пересекает график функции в точках 
и 
(рис. 25.1), абсциссы которых служат
корнями уравнения 
на отрезке 
Одним из корней этого уравнения является 
другим — значение 
Следовательно, значения из отрезка 
и значения, являются решениями неравенства (1) на отрезке 
а множество всех решений неравенства (1) — это объединение всех отрезков каждый из которых получается из отрезка 
сдвигом по оси 
на 
где 
т. е. совокупность отрезков вида
Ответ. 
Второй способ. Решим неравенство (1) с помощью единичной окружности. Построим угол, косинус которого равен 
. Для этого отметим на оси точку с абсциссой, равной , и проведем через эту точку прямую 
, параллельную оси 
(рис. 25.2).
Прямая пересекает единичную окружность в точках 
и 
.
Точке соответствует угол в 
радиан, а точке — угол в 
радиан.
Из рис. 25.2 видно, что абсциссу, меньшую или равную , имеют все точки единичной окружности, расположенные слева от прямой и на самой прямой. Итак, множество всех решений неравенства (1) представляет собой совокупность отрезков вида (2).
Пример №304.
Решить неравенство
Решение:
Построим график функции на отрезке 
и проведем прямую 
рис. 25.3).
Эта прямая пересекает график функции , 
в точках и , абсциссы 
и 
которых равны 
и 
соответственно. Из рис. 25.3 видно, что решения неравенства (3) на отрезке образуют интервал 
а множество всех решений неравенства (3) — это совокупность интервалов, каждый
из которых можно получить сдвигом интервала 
по оси на 
, где 
Ответ. 
Пример №305.
Решить неравенство
Решение:
Первый способ. Построим графики функций 
и 
(рис. 25.4). Функция является периодической с периодом . Поэтому достаточно найти решения неравенства (4) на отрезке длиной . В качестве такого отрезка выберем отрезок 
. На этом отрезке прямая 
пересекает график функции в точках и , абсциссыи которых равны 
и 
соответственно. Из рис. 25.4 видно, что решениями неравенства (4) на отрезке являются все числа интервала
Поэтому множество всех решений неравенства (4) — это объединение интервалов вида
Ответ. 
Второй способ. Построим единичную окружность и проведем через точку оси с ординатой 
прямую , параллельную оси (см. рис. 25.5).
Прямая пересекает единичную окружность в точках и
Точке соответствует угол в 
радиан, а точке — угол в 
радиан. Из рис. 25.5 видно, что все точки единичной окружности, расположенные ниже прямой , имеют ординату, меньшую 
Итак, множество всех решений неравенства (4) представляет собой совокупность интервалов вида (5).
Пример №306.
Решить неравенство
Решение:
Неравенство (6) равносильно неравенству
Построим график функции 
и проведем прямую 
(рис. 25.6). Функция является периодической с периодом 
, а на отрезке 
уравнение 
имеет корни 
и 
Из рис. 25.6 видно, что решениями неравенства (7) на отрезке являются все числа из интервала 
Множество решений неравенства (7) — это объединение интервалов, каждый из которых можно получить сдвигом интервала по оси 
на 
, где 
Ответ. 
Пример №307.
Решить неравенство
Решение:
Функция 
является периодической с периодом . Построим график функции : на интервале 
и проведем прямую 
(см. рис. 25.7). Функция возрастает на интервале , а прямая 
пересекает график этой функции в точке с абсциссой 
.
Поэтому решениями неравенства (8) на интервале являются все числа из интервала 
а множество всех решении неравенства (8) представляет собой совокупность интервалов вида
Ответ. 
Пример №308.
Решить неравенство
Решение:
Полагая 
, получаем квадратное неравенство 
, равносильное неравенству 
Поэтому неравенство (9) равносильно каждому из неравенств
На отрезке 
уравнение 
имеет корни 
и 
(см. рис. 25.1), а решениями неравенства (10) на этом отрезке являются все числа из интервала
.
Множество решений неравенства (10) и равносильного ему неравенства (9) представляет собой объединение интервалов вида
Ответ.
Пример №309.
Решить неравенство
Решение:
Первый способ. Используя тождество 
заменим неравенство (11) равносильным ему:
Как и при решении однородных тригонометрических уравнений, сведем неравенство (12) к квадратному относительно 
Рассмотрим два возможных случая: 
1) Пусть
, тогда 
и неравенство (12) примет вид 
Следовательно, все значения 
, удовлетворяющие уравнению , т. е. числа
являются решениями неравенства (12).
2) Пусть 
тогда 
и неравенство (12) равносильно каждому из неравенств
а неравенство (14) равносильно совокупности неравенств
На интервале 
решения неравенства (15) — это все числа из интервала 
, а решения неравенства (16) все числа из интервала 
Следовательно, на интервале решениями неравенства (12), равносильного (11), являются все числа из интервалов 
и 
, а также число 
, т. е. все числа , принадлежащие интервалу
Так как функция 
периодическая с периодом , то множество всех решений неравенства (12) представляет собой совокупность интервалов вида 
Ответ.
Второй способ. Неравенство (11) равносильно каждому из следующих неравенств:
где 
Отсюда находим
Заметим, что
где 
Поэтому двойное неравенство (18) но записать в виде (17).
Пример №310.
Решить неравенство
Решение:
Найдем решения неравенства на отрезке длиной 
. Все значения из интервала 
— решения неравенства, так как 
при 
а левая часть неравенства определена и неотрицательна при всех .
Пусть 
, тогда исходное неравенство равносильно каждому из неравенств
Так как 
то 
откуда 
Итак, на отрезке 
, решениями исходного неравенства являются все числа из интервала 
Ответ. 
Пример №311.
Доказать, что если 
— углы треугольника, то
Решение:
Обозначим левую часть неравенства (19) через 
и выразим произведение синусов через разность косинусов. Тогда получим
так как 
Полагая 
и применяя метод выделения полного квадрата, имеем
откуда следует, что
Неравенство (19) доказано.
Пример №312.
Доказать, что если 
то верно неравенство
Решение:
Так как 
при 
то, разделив числитель и знаменатель левой части неравенства (20) на 
получим равносильное ему неравенство 1
Обозначим левую часть неравенства (21) через и воспользуемся формулой 
Тогда задача сведется к доказатель- ству неравенства
Полагая 
получаем 
где 
Заметим, что
при 
и поэтому
т. е. 
что и требовалось доказать.
Этот материал взят со страницы решения задач с примерами по всем темам предмета математика:
Возможно вам будут полезны эти страницы:
