Оглавление:
Тождества Лагранжа
- Чтобы получить уравнение Лагранжа, вам нужно три идентификатора. Одна из них — известная формула для дифференцирования скалярного произведения любых двух векторов a и 5. или дд дф Если вектор скорости vk = rk и B является вектором 3r, Согласно этой идентичности (3 ” Другая идентичность (тождество Лагранжа) представлена как drk / dqi = drk / dql (32) Здесь точка над количеством означает производную по времени. Величина q — AqJAt называется обобщенной скоростью.
Можно также сказать, что если среди всех кривых, идущих от точки А к точке В, отыскивать кривые, для которых действие имеет минимум, то эти кривые среди траекторий, соединяющих точки А и В. Людмила Фирмаль
Идентичность (32) указывает, что вы можете установить «точки» (производную по времени) или «сокращения» одновременно для числителя и знаменателя. Эффективность (32) доказывается путем расчета содержащихся в нем величин и сравнения их. На самом деле, общий случай … ‘/. (‘) ■’) ■ По мере движения системы обобщенные координаты также являются функцией времени. Дифференцируя рк по времени как его сложной функции, , Дгк д дгк. DGK + 77-J], 4 ″ + p.
- Частная производная dgk / dh (и drk / dl не может зависеть от обобщенной скорости qt. Поэтому, если вы дифференцируете с фиксированным числом (33) обеих частей определенным образом по отношению к cc, только коэффициент этой переменной Все остальные члены производной дают ноль, которые не зависят от этого фиксированного числа qt. dfk / dqi = drkldql. Тождество (32) доказано. Другим лагранжевым тождеством является перестановка порядка дифференцирования по времени и обобщенным координатам вектора rk. s (S) — & (34).
Известно, что если считать Землю сферической и состоящей из однородных концентрических слоев, то ее притяжение будет равно притяжению материальной точки массы т, находящейся в центре Земли. Людмила Фирмаль
Чтобы доказать это тождество, используйте (33) для вычисления drk / dqt, учитывая, что обобщенная скорость не зависит от обобщенных координат. получить Drkldqt, с другой стороны, является сложной функцией времени и зависит не только от явных, но и от обобщенных координат. Из-за правил дифференциации сложных функций, д Здра 32фк. dggk. A2g,. a2rt ди ^ 4i ^ 4i ^ 1dHhdH) ^ H ^ H, ^ ‘dtdqi’ (36) Вы можете изменить порядок частных производных смешанных производных. С учетом этого (35) и (36) совпадают. Таким образом, тождество второго Лагранжа доказано.
Смотрите также:
Задачи по теоретической механике
| Общее уравнение динамики | Вывод уравнений Лагранжа |
| Уравнения Лагранжа | Структура уравнений Лагранжа и их составление |
