Торовая поверхность — тор

Торовая поверхность — тор

Поверхность, получаемая при вращении образующей окружности (или ее дуги) вокруг оси , лежащей в плоскости этой окружности, но не проходящей через ее центр, называется торовой. Образующая окружность вращается вокруг оси тора по направляющей окружности радиусом (рис. 7.20, а, б, в, г).

Геометрическое тело, ограниченное торовой поверхностью, называют тором.

Тор называют открытым (круговое кольцо), если образующие окружности в осевом сечении не пересекаются и не касаются друг друга, то есть . Проекции открытого тора с горизонтально-проецирующей осью вращения показаны на рис. 7.20, а.

Тор называют замкнутым, если образующие окружности касаются, то есть . Проекции замкнутого тора показаны на рис. 7.20, б.

Тор называют самопересекающимся, если образующие окружности пересекаются, то есть . Проекции самопересекающегося тора показаны на рис. 7.20, в. Выделенную часть самопересекающегося тора называют тороыдом и часто используют в графических условиях различных задач.

На рис. 7.20, г показаны проекции глобоида — это геометрическое тело, образованное как открытый тор, но материализующее полость (отверстие) в открытом торе.

Построение проекций открытого тора На рис. 7.21 показан пример построения фронтальной, горизонтальной и профильной проекций половины открытого тора с фронтально-проецирующей осью .

Фронтальную проекцию (очерк) тора определяют: — максимальная и минимальная круговые окружности-параллели и , по которым диаметральные точки и образующей окружности вращаются вокруг оси тора ;

-окружности-параллели и диаметральных точек и , которые совпадают между собой и совпадают с проекцией направляющей окружности радиусом тора (выполняются на чертеже тонкой штрих-пунктирной линией);

-две горизонтальные прямые — проекции образующих окружностей , полученных в сечениях тора горизонтальной плоскостью , проходящей через ось вращения тора.

Горизонтальную проекцию (очерк) тора определяют:

-совпадающие проекции и окружностей-параллелей фронтального очерка проецируются в прямую линию, перпендикулярную оси тора, и совпадают с горизонтальной осью симметрии проекции;

• две образующие окружности , лежащие в плоскости среза , которые проецируются в натуральную величину и видимыми являются только их половины;

-две горизонтальные линии, в которые проецируются окружности-параллели и , полученные при вращении диаметральных точек и (перпендикулярны оси вращения .

Профильную проекцию (очерк) тора определяют:

-совпадающие проекции и окружностей-параллелей фронтального очерка проецируются в прямую вертикальную линию и совпадают с осью симметрии проекции;

• окружность , лежащая в профильной плоскости (половина ее -невидимая);
• прямая горизонтальная линия совпадающих проекций образующих окружностей , лежащих в плоскости среза ;

-две вертикальные прямые — проекции окружностей-параллелей и .

!!! Запомните характерные признаки проекций открытого тора на чертеже.

Построение проекций точек, лежащих на поверхности тора

Точки на поверхности тора лежат на круговых параллелях, по которым они вращаются вокруг его оси .

Точки, лежащие на характерных очерковых окружностях тора и , и и строятся по их принадлежности этим окружностям.

На рис. 7.21 показаны примеры построения проекций точек по одной заданной проекции.

Например, горизонтальные и профильные проекции точек и Б, заданных своими фронтальными проекциями и , лежат на очерковых окружностях и и определяются на проекциях этих окружностей (горизонтальные проекции точек совпадают); профильная проекция -невидимая.

Горизонтальные и профильные проекции точек и , заданных своими фронтальными совпадающими проекциями, лежат на окружностях и и определяются на проекциях этих окружностей.

Проекции точек и (невидимая), заданных своими совпадающими фронтальными проекциями и и не лежащие на характерных окружностях тора, строятся по следующему графическому алгоритму (алгоритм I):

1-е действие. Провести вспомогательную круговую параллель радиусом через заданные фронтальные проекции точек .

2-е действие. Провести горизонтальные прямые — проекции этих параллелей — перпендикулярно оси вращения , используя вспомогательные точки , лежащие на проекциях образующей окружности .

3-е действие. Построить по линии связи видимые горизонтальные проекции точек и на проекциях этих вспомогательных параллелей.

4-е действие. Профильные видимые проекции точек и построить по координатам .

Проекции точек и (невидимая), заданных своими совпадающими горизонтальными проекциями и не лежащие на характерных окружностях тора, строятся по «обратному» алгоритму II:

1-е действие. Провести на горизонтальной проекции тора прямую, перпендикулярную оси вращения тора — это горизонтальные совпадающие проекции вспомогательных круговых параллелей радиусами и для точек и .

2-е действие. Построить радиусами и фронтальные проекции этих параллелей: — параллель на внутренней поверхности тора, a -параллель на наружной поверхности тора.

3-е действие. Построить по линии связи фронтальные проекции точек и на проекциях этих вспомогательных параллелей.

4-е действие. Профильные невидимые проекции точек и построить по координатам .

Сечения тора плоскостями частного положения

Тор является поверхностью вращения 4-го порядка (образующая и направляющая окружности 2-го порядка — порядки умножаются) и кривые его сечений также являются кривыми 4-го порядка (кроме круговых сечений).

Тор имеет две системы круговых сечений:

-первая система парных круговых сечений получается во всех плоскостях, проходящих через ось , тора на той его проекции, на которую ось проецируется в точку — смотри сечение во фронтально-проецирую-щей плоскости на фронтальной проекции тора (сечение по образующим окружностям );

-вторая система круговых сечений получается в плоскостях , перпендикулярных оси тора — смотри сечение во фронтальной плоскости уровня на горизонтальной проекции тора (сечение по круговым параллелям тора).

Тор имеет также третью систему сечений плоскостями уровня, параллельными оси его вращения .

На рис. 7.22 показаны формы кривых в различных сечениях открытого тора плоскостями уровня (ось тора ).

На рис. 7.22, а сечения проведены параллельно оси тора на его фронтальной проекции и являются горизонтальными плоскостями уровня.

В зависимости от расстояния секущей плоскости до оси тора на его поверхности получается 4 вида кривых, объединенных общим названием -кривые Персея (геометр древней Греции).

1-е сечение. Плоскость сечения на расстоянии от оси тора образует на его поверхности кривую линию — овал с двумя осями симметрии (для плоскостей между точками и , то есть ).

2-е сеченые. Плоскость сечения на расстоянии от оси тора образует на его поверхности волнообразную кривую (для плоскостей между точками и , то есть ).

3-е сеченые. Плоскость сечения на расстоянии от оси тора образует на его поверхности двухлепестковую кривую (для плоскости, проходящей через точку , то есть ).

4-е сечение. Плоскость сечения на расстоянии от оси тора образует на его поверхности два овала с одной осью симметрии (для плоскостей ниже точки С и не проходящих через ось вращения тора , то есть когда ).

На рис. 7.22, б изображена фронтальная и горизонтальная проекции открытого тора, у которого (частный случай). Кривые сечений этого тора называют овалами Кассы ни, а двухлепестковая кривая в сечении 3 называется лемнискатой Бернуяли.

Построение проекций открытого тора со срезами плоскостями частного положения

На рис. 7.23 показан пример построения проекций отрытого тора с комбинированным срезом фронтально-проецирующей плоскостью и горизонтальной плоскостью .

Для построения проекций тора со срезами следует выполнить предлагаемый графический алгоритм, определяющий порядок действий при решении всех подобных задач:

1-е действие. Построить на чертеже тонкими линиями по заданным размерам фронтальную, горизонтальную и профильную проекции тора без срезов, а затем выполнить на его фронтальной проекции (или любой другой) заданные по условию срезы фронтально-проецирующей плоскостью и горизонтальной плоскостью .

2-е действие. Обозначить на фронтальной проекции характерные точки и выполнить графоаналитический анализ сечений:

2.1. Фронтально-проецирующая плоскость пересекает поверхность тора по участку волнообразной кривой 1-2-3 (сечение 2), часть которой ограничена вырожденной в точку фронтально-проецирующей линией пересечения 3-3 плоскостей среза и .

2.2. Горизонтальная плоскость пересекает поверхность тора по участку двухлепестковой кривой 3-4-5 (сечение 3).

!!! Поскольку горизонтальная проекция тора имеет вертикальную симметрию, точки обозначены на одной его половине (нижней).

3-е действие. Достроить горизонтальную проекцию тора, построив проекции плоскостей срезов по горизонтальным проекциям отмеченных точек и определить видимость плоскостей срезов.

3.1. Горизонтальная проекция видимого участка волнообразной кривой в плоскости а построена по проекциям обозначенных точек и по их принадлежности характерным и (точки 1 и 2) и вспомогательным (точки и 3) параллелям.

3.2. Горизонтальная проекция видимого участка двухлепестковой кривой в плоскости (3 построена по проекциям обозначенных точек и по их принадлежности характерным и (точки 4 и 5) и вспомогательным (точки ) параллелям (точки уже построены).

3.3. Видимый отрезок — горизонтальная проекция линии пересечения плоскостей срезов и , ограничивающая участки кривых в плоскостях срезов.

4-е действие. Выполнить графический анализ построенной горизонтальной проекции тора для определения ее очерка и внутреннего контура.

4.1. Горизонтальный очерк определяют:

• видимые половины окружностей ;
• участки очерковых параллелей и не существующие между точками и
• участки кривых и .

4.2. Внутренний контур определяют:

• невидимые половины окружностей ;
• видимые участки кривых и ;
• видимый отрезок пересечения плоскостей срезов и .

5-е действие. Достроить профильную проекцию тора, построив проекции плоскостей срезов по профильным проекциям обозначенных точек и определить видимость плоскостей срезов:

5.1. Профильная проекция видимого участка волнообразной кривой построена по проекциям обозначенных точек и по их принадлежности характерным параллелям и (точки и ) и по координатам (точки ).

5.2. Профильная проекция горизонтальной плоскости среза проецируется в видимый горизонтальный отрезок (точки — на очерковых линиях и ).

6-е действие. Выполнить графический анализ построенной профильной проекции тора для определения ее очерка и внутреннего контура:

6.1. Профильный очерк определяют:

-слева и справа — проекции очерковых параллелей и до точек ;

• сверху — видимый участок волнообразной кривой;
• снизу — видимые совпадающие проекции образующих окружностей .

6.2. Внутренний контур определяют:

• видимый горизонтальный отрезок (проекция плоскости среза );
• видимые участки волнообразной кривой;
• невидимая часть окружности между точками .

7-е действие. Оформить чертеж тора, выполнив толстыми сплошными линиями очерки и видимый внутренний контур каждой проекций (оставить тонкими линиями полные очерки проекций и линии построений).

Структуризация материала седьмой лекции в рассмотренном объеме схематически представлена на рис. 7.24 (лист 1). На последующих листах 2-6 компактно приведены иллюстрации к этой схеме для визуального закрепления основной части изученного материала при повторении (рис. 7.25-7.29).

Эта теория взята со страницы лекций для 1 курса по предмету «начертательная геометрия»:

 Начертательная геометрия для 1 курса

Возможно эти страницы вам будут полезны:

Конические сечения

Сферическая поверхность — шар

Развертки поверхностей: общие сведения

Пересечение поверхностей и способы построения линий пресечения