Оглавление:
Все точки разрыва функции подразделяются на точки разрыва первого и второго рода.
Точка разрыва называется точкой разрыва первого рода, если в этой точке существуют конечные левосторонние и правосторонние пределы, т.е.
и
.
Если , то точка
называется точкой устранимого разрыва, если
, то точка
называется точкой конечного разрыва.
Точки разрыва первого рода можно представить следующим образом:

Точка разрыва называется точкой разрыва второго рода, если в этой точке хотя бы один (левосторонний или правосторонний) предел равен бесконечности.
Точки разрыва второго рода можно представить следующим образом:

Можно привести много примеров хорошо известных нам основных элементарных функций, имеющих точки разрыва второго рода:
— точка разрыва II рода;
— точки разрыва II рода;
— точки разрыва II рода.
Рассмотрим на примере, как находить точки разрыва функции и определять их род.
Пример №10.3.
Найдите точки разрыва функции и определите их род.
Решение:
Функция является элементарной, следовательно, она непрерывна на области определения.
Найдем и
. Получили, что точки
и
являются точками разрыва функции. Для того, чтобы их классифицировать, найдем предел функции в указанных точках.
Для точки
, следовательно,
— точка разрыва II рода.
Для точки
следовательно, — точка разрыва I рода. Поскольку левосторонний и правосторонний пределы функции в этой точке совпадают, то
— точка устранимого разрыва. Положив
при
, разрыв устранится, функция станет непрерывной.
График данной функции представлен на рисунке 10.6.

Пример №10.4.
Найдите точки разрыва функции и определить их род.
Решение:
Функция состоит из двух частей:
(при
) и
(при
). Функции
и
являются элементарными, непрерывными на множестве
.
Имеет ли функция разрыв? Она определена во всех точках отрезка [-1; 4]. Найдем левосторонний и правосторонний пределы данной функции в точке
.
Левосторонний предел:
Правосторонний предел:
Поскольку левосторонний и правосторонний пределы функции конечны, то — точка разрыва I рода. Но эти пределы не равны между собой, следовательно,
— точка конечного разрыва.
График данной функции представлен на рисунке 10.7.

Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:
Свойства функций, непрерывных на отрезке. |
Непрерывность элементарных и сложных функций. |
Понятие производной функции. |
Нахождение производных основных элементарных функций. |