Оглавление:
Точки разрыва функции и их классификация
Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции. Если 
— точка разрыва функции 
, то в ней не выполняется по крайней мере одно из условий первого определения непрерывности функции, а именно:
1. Функция определена в окрестности точки 
, но не определена в самой точке
.
Например, функция 
не определена в точке 
(см. рис. 120).
2. Функция определена в точке
и ее окрестности, но не существует предела 
при 
.
Например, функция
определена в точке 
, однако в точке имеет разрыв (см. рис. 121), т. к. эта функция не имеет предела при 
: 
, a 
.
3. Функция определена в точке
и ее окрестности, существует 
, но этот предел не равен значению функции в точке
: 
.
Например, функция (см. рис. 122)
Здесь 
— точка разрыва:
а 
Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода. Точка разрыва называется точкой разрыва первого роде функции , если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы), т. е. 
и 
. При этом:
а) если 
, то точка называется точкой устранимого разрыва; б) если 
, то точка называется точкой конечного разрыва. Величину 
называют скачком функции в точке разрыва первого рода.
Точка разрыва называется точкой разрыва второго рода функции , если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности.
1. Обратимся к функциям, рассмотренным выше (см. рис. 120). 
— точка разрыва второго рода.
2. Для функции
является точкой разрыва первого рода, скачок функции равен |1-0| = 1.
3. Для функции
является точкой устранимого разрыва первого рода. Положив 
(вместо 
) при 
, разрыв устранится, функция станет непрерывной.
Пример №19.3.
Дана функция 
. Найти точки разрыва, выяснить их тип.
Решение:
Функция определена и непрерывна на всей числовой оси, кроме точки 
. Очевидно, 
Следовательно, 
, a 
. Поэтому в точке функция имеет разрыв первого рода. Скачок функции в этой точке равен 1 — (-1) = 2.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
| Непрерывность функции в точке |
| Непрерывность функции в интервале и на отрезке |
| Основные теоремы о непрерывных функциях |
| Свойства функций, непрерывных на отрезке |
