Оглавление:
Тетрадное представление уравнений Эйнштейна
- Тетрадное представление уравнений Эйнштейна. Определение компонентов богатого тензора (и, следовательно, состава Уравнение Эйнштейна) для конкретной метрики Вообще говоря, социальный тип Расчет. Поэтому различные формы Мул, который иногда упрощает эти вычисления Представляет лень и результаты в более видимой форме.
В середине Такие формулы включают следующие формулы тензора кривизны: Вызываемая форма записной книжки Представляем набор из четырех линейных независимых тестов 4 вектора (пронумерованы нижним индексом а) подчиненного Единственное требование e \ a) e (b) r = CL, (98,1) Где r] ab — постоянная симметричная матрица со знаком. Рой + ——; матрица m] ^ ol (3 (^ ac ^ cb-J ^) 1).
Пронумеровано более высоким ссылочным индексом Людмила Фирмаль
С четырьмя (тетрадными) векторами э-э-эй также вводит четыре обратных вектора е ^ г () определение условия е |% = (98,2) То есть каждый вектор e ^^ ортогонален трем векторам e ^^ c б ф а. Умножение знака равенства (98.2) на e ^ дает (ek ^ e ^) e \ b) — = эку, оттуда (98,2), Равенство также появляется е! «W) = *? • (98,3)
Умножение r) bc с обеих сторон уравнения ex ^ e ^ φ = r \ ac дает: e \ a) (ЪЪССН) = §a> (98,2) по сравнению с eT = ?? bce (c) r, e (b) i =% ce ^ c). (98,4) Таким образом, подъем и опускание опорного индекса осуществляется с помощью матрицы м] до н.э. и 77 ^ с. Значения опорных векторов, введенные этим методом Метрики могут быть выражены через них. Небесный тензор.
- Конечно, согласно определению отношения между 4 и в контексте карт и векторов kL M, e = = g u e ^ l \ Умножим это уравнение умножением (98.3) (98.4) найти gik = e (a) r4a) = Paie \ a) e ^ \ (98.5) Квадрат интервального элемента со следующим метрическим тензором (98.5) Смотри ds2 = r] ab (e \ a ^ dxl) (e ^ dxk). (98,6)
Для произвольно заданной матрицы m] ab Более естественным выбором является форма «Галилея» (т.е. Конечная матрица с элементами 1, -1, -1, -1). При обращении Векторы из (98.1) ортогональны друг другу и еще одному Из них, подобные времени, остальные три похожи на пространство нам 1).
что такой выбор никогда не является обязательным Теленок и ситуация возможна по какой-то причине Людмила Фирмаль
Однако я подчеркиваю, (Например, из-за свойства симметрии метрики) Неортогональный тетрамолекулярный бор 2).
4 вектора Ar Tetrad (и аналогично 4 тензора любого ранга) определяется как «проекция» на него Ссылка 4 вектор: A (a) = e \ a) Ai, AY = e ^ A * = rf * A (b). (98,7) Обратное: A, = e <´> A (a), A • = e ‘(a) A <´>. (98,8) Аналогично определим дифференциальную операцию «По направлению»: Я <P, (a) — e (a) d x r •
Давайте введем более необходимую сумму 1) ‘Ifacb e (a) c / ce (6) e (s) (98,9) И их линейная комбинация ^ abc = Ifabc Ifacb = (E (a) r; fc-e (a) / c; d) e (6) e (c) — (e (a) i, k-e (a) k, d) e (b) e ( s) * (98.10) Последнее уравнение (98.10) продолжается из (86.12). Будь осторожен с этим Количество Aalc составляет Вектор пера. Инверсия 7ac через Xabc: Habc = ~ ^ {^ abc H ”^ bc ^ cab) • (98.11)
Эти величины симметричны. TaS = / BaS? ^ abs = ^ acb • (98.12) Наша цель — определить 10 тетрамолекулярных компонентов Разрыв кривизны. Необходимо продолжить с определения (91.6) и применить К ковариантной производной каркасного вектора: врач общей практики ^ (A) ск; 1 е (а) с1; к е (а) — ^ или (A) (b) (c) (<Ј) — (e (a) i; k; l e (a) i; I; k) e (b) e (c) e (d) *
Это выражение можно легко выразить с помощью 7a ^ s. Написать _ (* 0 (с) ^ (A) r; / s Ifabc ^ i •> И после следующей ковариантной производной Вода из эталонного вектора представлена таким же образом Zome; Ковариантная производная скалярного количества 7ac согласен с его простой производной 1). В результате Это: R (a) (b) (c) (d) = 1a, s, d ~ labd, c + labf (l ^ cd ~ 7 ^ ‘dc) ~ ^ ~ lafcl ^ bd ~ ~ Lafdl ^ bc ‘) (98,13) Где a ^ c = r) ad ^ abc и т. Д.
В соответствии с общим правилом 7 Такое упрощение тензора индексной парой a, c желательно 4 составляющих богатого тензора. Мы даем им выражения ми уже через значение Aabc: (Aa) (b) -2 (aab, c + aa, c + acc, b + acc, a) + + \ CdbKda + ^ Cdb ^ dca ~ — ^ b ^^ acd + ^ cd ^ ab ** + ^ cd ^ ba **) — (98.14) И, наконец, Феномен не имеет ничего общего с четырехмерной природой мета. Рики.
Поэтому, применяя полученные результаты, От 3D до 3D Римана и богатые тензорные вычисления Метрика. В этом случае, конечно, вместо эталонной тетрады Обрабатывает триады из 4 векторов и 3D векторов. Матрица m] ab требует подписи +++ ( § 116 таких заявлений).
Смотрите также:
| Псевдотензор энергии-импульса гравитационного поля | Закон Ньютона |
| Синхронная система отсчета | Центрально-симметричное гравитационное поле |
