Теоремы об эквивалентности пар
Теорема 1. Всякую пару, не изменяя ее действия на абсолютно твердое тело, можно заменить другой парой, расположенной как угодно в той же плоскости и имеющей одинаковое с данной парой направление вращения и равный по абсолютной величине момент.
Доказательство. Пусть на тело действует пара
с плечом
Приложим к точкам
и 
две равные по модулю и направленные но одной прямой в противоположные стороны силы 
и 
. Складывая попарно силы 
и и силы 
и , мы, очевидно, придем к новой паре 
.Так как система сил 
— уравновешенная, то полученная пара 
эквивалентна данной.
Если перенести силы этой пары в любые другие две точки, лежащие на линиях их действия (например, 
и 
, рис. 36) и вновь присоединить к силам данной пары любую уравновешенную систему сил 
то вновь будет получаться пара 
, эквивалентная данной:
Нетрудно убедиться в том, что все полученные эквивалентные пары имеют одинаковое направление вращения (в данном случае противоположное ходу стрелки часов) и одинаковый по абсолютной величине момент.
В самом деле, как это видно из рис. 36,
и, следовательно
Переносом сил пары по линиям их действия и повторением операций, подобных сделанным выше, можно, очевидно, перенести пару в любое положение в плоскости ее действия и любым образом изменять модули сил пары. При этом будет соответственно изменяться длина плеча пары, но модуль момента пары и направление ее вращения будут оставаться неизменными.
Как показывает опыт и как это доказывается в динамике, пара сил, как бы она не была расположена, всегда сообщает свободному телу вращение вокруг оси, проходящей через центр тяжести тела и перпендикулярной плоскости действия пары.
Нужно заметить, что перенос пары в ее плоскости действия, так же как и перенос силы по линии ее действия, безоговорочно применим лишь для абсолютно твердого тела. Мы можем пользоваться этим свойством пары при решении задач на равновесие внешних сил, приложенных и к деформируемому телу, так как это равновесие не нарушается от того, что такое тело станет абсолютно твердым (принцип отвердевания). Но деформация тела и возникающие в результате ее в теле внутренние силы, противодействующие этой деформации, зависят от места расположения пары, и поэтому в задачах сопротивления материалов всегда указывают сечение тела, на которое действует пара.
На рис. 37 в качестве примера изображены две балки, заделанные одним своим концом в стену и нагруженные парами. Ясно, что пара, приложенная к концевому сечению (рис. 37, о), будет деформировать (изгибать) всю балку, тогда как пара, приложенная к среднему сечению (рис. 37,6), будет изгибать только левую часть балки.
Теорема 2. Не изменяя действия пары на твердое тело, ее можно переносить в любую плоскость, параллельную плоскости действия данной пары.
Доказательство. Пусть на тело действует пара 
с плечом 
, лежащая в плоскости 
(рис. 38).
Предположим, что мы хотим эту пару перенести в какую-либо другую плоскость 
, связанную с данным телом и параллельную плоскости . Возьмем в плоскости отрезок 
и равный и параллельный отрезку
, и приложим в точках 
и 
по две взаимно уравновешивающиеся силы 
и 
. Эти силы возьмем параллельными силам заданной пары и равными им по модулю, так что
Так как добавленные силы взаимно уравновешиваются, то получившаяся система шести сил 
эквивалентна заданной паре 
, расположенной в плоскости .
Но из новой системы шести сил четыре силы 
и 
также представляют собой уравновешенную систему и потому могут быть отброшены.
В самом деле, равнодействующая 
параллельных, направленных в одну сторону и равных сил 
и 
им параллельна, равна по модулю 
, направлена в ту же сторону и проходит через середину отрезка 
. Равнодействующая 
параллельных, направленных в одну сторону и равных сил и также им параллельна, равна по модулю , направлена в сторону действия этих сил и проходит через середину отрезка 
. Отрезки же и как диагонали параллелограмма 
, взаимно делятся пополам в точке 
их пересечения. Таким образом, равнодействующие и равны но модулю и направлены по одной прямой в противоположные стороны. Следовательно, эти равнодействующие взаимно уравновешиваются, и система сил (.) эквивалентна пулю.
Остаются только две силы и , образующие пару, которая представляет собой, очевидно, заданную пару , перенесенную из плоскости в плоскость . Теорема доказана.
Эта теория взята с полного курса лекций на странице решения задач с подробными примерами по предмету теоретическая механика:
Теоретическая механика — задачи с решением и примерами
Возможно вам будут полезны эти дополнительные темы:
