Рассмотрим ряд теорем, имеющих большое теоретическое и прикладное значение.
Теорема 25.1 (Ролль). Если функция 
непрерывна на отрезке 
, дифференцируема на интервале 
и на концах отрезка принимает одинаковые значения 
, то найдется хотя бы одна точка 
, в которой производная 
обращается в нуль, т. е. 
.
Так как функция непрерывна на отрезке , то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений, соответственно, 
и 
. Если 
, то функция постоянна на и следовательно, ее производная 
в любой точке отрезка .
Если 
, то функция достигает хотя бы одно из значений
или во внутренней точке с интервала , так как .
Пусть, например, функция принимает значение в точке 
, т. е. 
. Тогда для всех 
выполняете соотношение
Найдем производную в точке 
:
В силу условия (25.1) верно неравенство 
. Если 
(т. е. 
справа от точки ), то
и поэтому 
Если 
, то
и 
.
Таким образом, .
В случае, когда 
, доказательство аналогичное.
Геометрически теорема Ролля означает, что на графике функции 
найдется точка, в которой касательная к графику параллельна оси 
(см. рис. 139 и 140). На рисунке 141 таких точек две.
Теорема 25.2 (Коши). Если функции и 
непрерывны на отрезке , дифференцируемы на интервале , причем 
для , то найдется хотя бы одна точка такая, что выполняется равенство 
.
Отметим, что 
, так как в противном случае по теореме Ролля нашлась бы точка 
, такая, что 
, чего не может быть по условию теоремы. Рассмотрим вспомогательную функцию
Она удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля: непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале , так как является
линейной комбинацией функций и ; на концах отрезка она принимает одинаковые значения 
.
На основании теоремы Ролля найдется точка такая, что 
. Но 
, следовательно,
Отсюда следует
Теорема 25.3 (Лагранж). Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале , то найдется хотя бы одна точка такая, что выполняется равенство
Решение:
Теорему Лагранжа можно рассматривать как частный случай теоремы Коши. Действительно, положив 
, находим 
.
Подставляя эти значения в формулу , получаем
или 
.
Полученную формулу называют формулой Лагранжа или формулой о конечном приращении: приращение дифференцируемой функции на отрезке равно приращению аргумента, умноженному на значение производной функции в некоторой внутренней точке этого отрезка.
Теорема Лагранжа имеет простой геометрический смысл. Запишем формулу (25.2) в виде
где 
. Отношение 
есть угловой коэффициент секущей 
, а величина 
— угловой коэффициент касательной к кривой в точке с абсциссой .
Следовательно, геометрический смысл теоремы Лагранжа таков: па графике функции найдется точка 
(см. рис. 142), в которой касательная к графику функции параллельна секущей .
Следствие 25.1. Если производная функции равна нулю на некотором промежутке, то функция постоянна на этом промежутке.
Пусть для 
. Возьмем произвольные 
и 
из и пусть 
. Тогда по теореме Лагранжа 
такая, что 
. Но по условию , стало быть, , где 
. Поэтому имеем 
, т. е. 
. А так как и — произвольные точки из интервала , то имеем 
.
Следствие 25.2. Если две функции имеют равные производные на некотором промежутке, то они отличаются друг от друга на постоянное слагаемое.
Пусть 
при . Тогда 
. Следовательно, согласно следствию 25.1, функция 
есть постоянная, т.е. 
для .
Пример №25.1.
Доказать, что 
, где 
.
Решение:
Пусть 
. Тогда 
имеем 
. Отсюда следует, что 
, т.е. 
. Положив 
, находим 
, т. е. 
.
Поэтому . Это равенство выполняется и при 
(проверьте!).
Аналогично доказывается, что 
.
Формуле Лагранжа можно придать другой вид. Применив теорему Лагранжа к отрезку 
, будем иметь
Каждое число 
можно записать в виде 
, где 
(действительно, 
; положим 
. Формула (25.3) примет вид
где .
Используя теорему Лагранжа, можно оценить точность приближенного равенства 
. Сделаем это, считая, что функция
имеет непрерывную вторую производную 
:
где 
(рис. 143).
Итак, 
. Пусть 
. Так как 
, a 
, то получаем оценку 
.
На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:
Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:
| Применение дифференциала к приближенным вычислениям |
| Дифференциалы высших порядков |
| Возрастание и убывание функций |
| Максимум и минимум функций |
