Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши о средних значениях

Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши о средних значениях

Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши о средних значениях. Теорема 2 (теорема Ролле 1). Пусть функция/. 1) непрерывный в сегментах [a, b]. 2) в каждой точке интервала(a, b) существует бесконечная производная от конечного или постоянного знака. 3) Возьмите равные значения на обоих концах сегмента. То есть, A(a)= A & b). Тогда существует по крайней мере 1 такая точка X и X b, где A ’(X)=. Геометрический смысл теоремы крена состоит в том, что на графике функции, удовлетворяющей условиям теоремы крена, имеется по крайней мере 1 точка, в которой линии касательной выровнены(рис.51). Доказательство. Если равенство A (x)= A (a)= A (b) справедливо для любой точки x в интервале (a, b), то для любой точки x∈(a, b) условие’(X)=A (A) = A (b), поскольку функция A постоянна в этом интервале. Предположим, что a (x)> A (a), например A (x) a(a) точка x∈(a, b) существует.

Согласно теореме Вейерштрасса о достижимости непрерывными функциями максимального и минимального отрезков, существует точка X, где функция A принимает максимальное значение. Людмила Фирмаль

• И затем… А ^)А(х)А (А)= А(Б). Итак, X ^ a и X ^ b, то есть точка X принадлежит интервалу (a, b), а функция A принимает максимальное значение в it. So, согласно теореме Ферма (см. раздел 11.1, теорема 1), уравнение A ’(X)=выполняется. Я не уверен. Обратите внимание, что все предположения теоремы о роли являются essential. To для проверки этого достаточно привести пример функции, в которой выполняются 3 из 3 условий теоремы, 3-е условие не выполняется, а точка X не существует. 1 м. ролл (1652-1719) французский математик. 316. Такое/ ’(X)= 4-(причем, благодаря условию, относится к значению функции в конечных точках интервала, следует рассматривать только функции, определенные в интервале.

Функция A(x) определяется интервалом [, 1], и если X равно x, если X равно X, если X равно X, то она удовлетворяет условию 2 и 3, но не удовлетворяет условию 1 (рис.52). Функция f(x)= | x|, x∈[-1; 1]удовлетворяет условиям 1 и 3, но не удовлетворяет условию 2 (рис.53). Наконец, функция A (x)= x, x∈ [; 1]удовлетворяет условиям 1 и 2, но не удовлетворяет условию 3(см. Рис.5). Для всех этих функций, нет точки, в которой их производные исчезают. В соответствии с условиями ролевой теоремы отметим тот факт, что интервал[a, 5]может содержать точки, в которых функция имеет определенный знак бесконечной производной. Он-р=или= -^.Это требование <sup class=»reg»>®</sup> ДХ Ах <sup class=»reg»>®</sup> Ах ДХ Вы не можете ослабить его, заменив условие его = then. To Например, если функция f (x)=]] \ x\, _ 1 ^ x 1, то нет точки X€[-1,+1], в которой производная этой функции disappears.

• At в то же время функция A(x) удовлетворяет всем условиям ролевой теоремы интервала[-1, 1]. Однако, функция в точке X =не имеет либо конечный или определенного знака бесконечной производной(рис. 54). На самом деле, для этой точки это^==, и это ограничение не бесконечно для конкретного знака. 3 ^ 7 Примером функции, удовлетворяющей ролевой теореме и имеющей бесконечную производную в некоторой точке определенного знака, является следующая функция: [D. (x-1) 2, x-2、 А(х)\ я 2 1-А / 1-(х + 1), −2 х. Эта функция непрерывна на интервале[-2, 2] и дифференцируема во всех точках интервала, за исключением интервала x =(-2, 2).Здесь/ ’ () =и/（-2）= /（2）（55).Согласно ролевой теореме, производная имеет нулевую (x =±1) точку (даже 2).График этой функции представляет собой 2 полукруглых конъюгата в точке (;).

Данный пример показывает обоснованность рассмотрения в данном случае не только функций с конечными производными, но и функций с конкретными знаками бесконечных производных. Построив соответствующие примеры (если, конечно, мы можем это сделать), мы обычно проверяем в математике важность определенных условий теоремы, которые доказываются. В дальнейшем не проверяйте необходимость выполнения условий теоремы и оставьте это читателю при необходимости. Из ролевой теоремы мы видим, что если функция непрерывна на некотором интервале, аннигилирована в конце и дифференцируема во всех своих внутренних точках, то существует внутренняя точка, в которой производная disappears.

Короче говоря, между двумя нулями дифференцируемой функции всегда есть по крайней мере один ноль этой производной. Людмила Фирмаль

• Упражнение. 1.Если функция A удовлетворяет условиям теоремы крена на интервале[a, b]и не является постоянной, то это доказывает, что в этом интервале есть точки X2, такие как A ’(X) и A’(X2). 2.Вот пример функции, которая непрерывна в интервале[a, b]и имеет производную в каждой точке интервала (a, b), но не имеет производной (односторонней). Теорема 3 (теорема Лагранжа 1).Если функция A непрерывна в каждой точке интервала[a, b]и интервала (a, b) 1 Ж. Л. Лагранж (1736-1813) французский математик и машинист. Триста восемнадцать Существо с конечным или специфическим знаком и бесконечной производной на этом интервале.

Смотрите также:

Предмет математический анализ

Дифференциалы высших порядков.	Неопределенности вида 0/0.
Теорема Ферма.	Неопределенности вида оо/оо.