Оглавление:
Теоремы Лагранжа и Кастильяно
- Теорема Лагранжа и Кастильяно. Уравнение (150.2), энергия упругой деформации, а также энергия пластического формообразования, полученная при определении по уравнению (150.4), однозначно определяется деформационной задачей, а деформационное состояние
однозначно определяется распределением внешней силы P, так что W можно рассматривать как функцию этих сил или смещение их приложения. Итак, пусть обобщенная сила Plt RG действует на тело.. . Соответствующее обобщенное смещение «г».. .. ep.
Тогда 1F=1FO(I1, и……….. ИС) = РГ(Л, Р».. .П»). Сообщим обобщенные Людмила Фирмаль
координаты ult ИГ,.. . , И любое изменение 6″т, 6″ г.. . «Основная работа внешних сил-это Рассматривая W, представленное обобщенным смещением, получим следующее уравнение для вариации W: Вождение в нетрезвом виде Уравнение (150.1) задается следующим образом: Для произвольности вариаций, это выглядит следующим
образом: Датт. (151.2) Разность энергии деформации вследствие смещения равна силе. Это теорема Лагранжа, которая является наиболее распространенной теоремой механики деформируемого тела. В качестве примера рассмотрим задачу, решенную в§ 32 (рис. 42). Энергия деформации стержня при растяжении
- по формуле (28.4)) В таком случае \ коза Следовательно, полная энергия растяжения двух стержней§ 151] теорема Лагранжа и Кастильяно 335 По теореме Лагранжа п ДГ ДУ и Фру* * И так оно и есть. Это совпадает с выражением (32.3). Связь между силой и перемещением является нелинейной, и пример, который подчеркивает общность этого метода, конкретно показан. Представим себе, что потенциальная энергия деформации представлена
внешними силами: W=W(P1, P I , Сформируйте функцию Ф=2RL-Вт. Меняем функцию и получаем: Я>=£р, ч+с » РЛ-Ы » Но из-за теоремы Лагранжа (151.3) И так оно и есть. ИУ Т (151.4) Кроме того, предположим, что функция f представлена только внешней силой: ф=ф(п п р т……….п п). Затем Если заменить это выражение на левую часть выражения(6f151. 4) и обратите внимание, что вариация произвольна, вы получаете; (151.5)
Эта формула представляет собой теорему Кастильяно.336 общая теорема сопротивления Людмила Фирмаль
материалов[гл. Икс! В Функция f называется дополнительной работой. Согласно формуле (151.5), смещение равно производной дополнительного выступа. Термин «дополнительная работа» легко понять, когда речь идет о фигуре. В нелинейной зависимости между 230 P и m G=J КПК. Таким образом, 1F равен площади затененной фигуры. Дополнительная работа, f, представляет собой область, которая дополняет w к прямоугольнику.
Смотрите также:
| Обобщенные силы и обобщенные перемещения | Линейные упругие системы |
| Начало возможных перемещений для деформируемого тела | Теорема о взаимности работ |
