Оглавление:
Теорема Пуассона
- Теорема Пуассона Сначала рассмотрим случай, когда n велико, а p мало. Теорема 1. (Теорема Пуассона) Для oo и 0, pr- * a, поэтому для фиксированного m = 0,1. •. P {lx = m} = CpV-m -> — ^ e «e- O) Доказательство. Утверждение (3) сразу следует из равенства P0i = m) = м (Пар) мл.
- В случае oo, учитывая, что tip- * ограничение (1-p) является p-vein. Предельное соотношение (3) показывает, что справедлива следующая оценка: a2 • а = проспект (4) Рассмотрим n независимых испытаний с разными вероятностями успеха в различных испытаниях. указывает вероятность успеха в pi (n »« = 1-pi — вероятность неудачи в i-м тесте; указывает распределение q — количество успехов в тесте n— by.
Докажите более сильные утверждения с более общими независимыми схемами тестирования. Людмила Фирмаль
P (u = m) = Pn (m) = Pn (w; pn; .., pn) (5) Такая независимая схема испытаний, использующая разные, называется схемой Пуассона. Схема Пуассона для p * e p является схемой Бернулли с вероятностью P (q = r). Метод Пуассона не описан в компактном формате, подобном (1). Например P {μ = 0} =? 1 или 2 … P {μ = 1} = ?, <72 ♦ ••• pn + ххРД •••• пn + ••• + \ \ 22 • r • пn-lPrt * P {| X = μ} = Pj / 2 … pntP {μ = m) = 0 (m <0 и m> n). P (a, a) — ~ e ~ a. (6)
Занять место Теорема 2. Для схем Пуассона с положительным целым числом n и вероятностью plt p2 имеем « произвольное множество B, неравенство P {η =}} — П ((г / у, а) (7) ТэВ J-1 Где a = p, r +> 2 ‘+’ …—> .. Доказательство. Уравнение (6) определяет более общие вероятности распределения Пуассона ((m, a), которое равно w = 0, 1, 2, … х> Yj P (mt d) = 1.
- Левая сторона неравенства вес ~ 0 (7) Не превышать V „, где и = T Z 1 P «(t1 P» ‘•••• ^ ~~ P (t’ a) т-0 Разделите все неотрицательные целые числа m на два набора. Pn (m)> ((m, a) и Т е б ‘для отдыха. шоу = I (P, 0,> П (| u. Aj £ (Pn (m) -Um, a)). РPn (м) = П ((м, а) = 1 м т 0 = T1 (Pn (t) -P (t, a)) = Z ++ S » T и T С другой стороны, для любого набора значений B, | Zfl (Mm) -Il (m, a)) | < <Макс (£ (Pn (м) -П (м, а))), -N (a, a)) |} <£ + = Vn.
Поэтому для доказательства (7) достаточно доказать это. (8) Мы проводим доказательство руководством. Для n = 1 n Pi = p | P »(0; p) -P (0; = ^ + | P, (1; p) -P (1; | P {(m; p) -P (m; m> 2, Где взять о т-0 \ м — 2 / = p (1-b- ‘) 0. Тогда, согласно формуле для полной вероятности, Pn (m \ px% Pn) = Pn_x (m; pn-t) Pi (0; Pn) + + 1; L. pn- ) P (U Pn) = = pn), (10)
Если ai> 0, P (m, al + 02) = Zn (m-ft, a2). (11) н н =] СрЛп = £ р? Людмила Фирмаль
Предполагается, что Л-1 г Л-1 (12) Оцените Vn, используя уравнения (9) — (12). о И «= Т Е ^ -И-а-а») | = т-0 т к К о S1 i (m ~ *) — ((m- ,, „_,)! />, <*; P„) + т-0 л-0 о + T 2пn (m- *, b-OIM *; f „„) -n (A, pn) K t-0 ft-0 Теорема доказана. Результаты в плане Бернулли на каждый праздник {{Еe}} — ПП (м, а) ‘где a-pr% Те из
Смотрите также:
Предмет теория вероятностей и математическая статистика
| Неравенство Чебышева. Закон больших чисел | Локальная предельная теорема Муавра-Лапласа |
| Биномиальное распределение | Интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа |
