Оглавление:
Теорема о сложении скоростей
Теорема. Абсолютная скорость точки равна геометрической сумме ее переносной и относительной скоростей


Доказательство. Пусть точка движется относительно некоторой подвижной системы
отсчета и имеете с этой системой перемещается относительно неподвижной системы отсчета (рис. 125).
За начало новой (недвижной) системы координатных осей , неизменно связанных с подвижной системой
, примем какую-нибудь произвольную точку
этой системы. Положение точки
относительно подвижной системы отсчета определяется радиусом-вектором
.
Если отложить на осях подвижной системы координат единичные векторы и
то по формуле (55) можно записать, что

Относительная скорость точки
равна производной по времени от радиуса-вектора
этой точки. Для того чтобы ее определить, нужно мысленно остановить переносное движение (т. е. подвижную систему отсчета) и считать, следовательно, орты
и
постоянными векторами. В этом случае, дифференцируя равенство (I), получим:

Положение начала подвижной системы
относительно неподвижной системы определяется радиусом-вектором

Положение точки относительно неподвижной системы отсчета определяется радиусом-вектором

Как видно из векторного треугольника (рис, 125):

или, если подставить сюда выражение (I) для ,

Для того чтобы определить переносную скорость точки
, надо мысленно остановить относительное движение точки и определить ее скорость как точки, неизменно связанной с подвижной системой
. Следовательно, переносную скорость точки можно найти, дифференцируя по времени равенство (III), полагая при этом координаты
и
точки
относительно подвижной системы отсчета постоянными величинами.
В этом случае, дифференцируя равенство (III), получим:

Определим теперь абсолютную скорость с точки . При произвольном движении подвижной системы
и неизменно связанных с ней координатных осей орты
и
изменяют свое направление и являются переменными векторами. При движении точки
относительно подвижной системы
переменными будут и ее координаты
и
. Таким образом, при определении абсолютной скорости точки
все члены, входящие в равенство (III), надо считать переменными.
В этом случае, дифференцируя равенство (III), получим:

Нетрудно видеть, что первое из двух выражений, стоящих в правой част последнего равенства и заключенных нами (для удобства) в скобки, представляет собой правую часть равенства (IV), т. с. переносную v,, скорость точки. Второе из этих выражений представляет собой правую часть равенства (II), т. с. относительную скорость точки.
Следовательно,

и теорема доказана.
Так как абсолютная скорость точки находится по общему правилу сложения двух векторов, т. е. изображается диагональю параллелограмма, построенного на

векторах ее переносной и относительной
скоростей (рис. 126), то доказанную теорему называют часто теоремой параллелограмма скоростей.
Пример задачи:
Кулачок, имеющий форму клипа с углом
(рис. 127), движется поступательно по горизонтальной плоскости со скоростью
. Определить скорость стержня (толкателя)
. опирающегося на кулачок и свободно скользящего в неподвижных направляющих.
Решение:
При движении клина вправо стержень получает поступательное движение по вертикали вверх. Так как при поступательном движении стержня все его точки имеют одинаковые скорости, то найдем скорость одной точки
. Если мы примем за систему отсчета клин, то по отношению к нему точка
перемещается вдоль прямой
. Так как сам клин также движется по отношению к неподвижной системе отсчета, то движение точки
по отношению к клину будет относительным движением, движение же этой точки имеете с клином — переносным движением.
Направление относительной и абсолютной
скоростей точки
нам извести. Наличие неподвижных направляющих позволяет стержню (и его точке
) иметь только одно движение по отношению к неподвижной системе отсчета — вертикальное.
Переносная скорость точки известна и по величине, и по направлению:
. Строим параллелограмм скоростей точки
. Из конца вектора
переносной скорости точки
проводим прямую, параллельную относительной скорости (прямой
), до пересечения ее с прямой
, по которой направлена абсолютная скорость.
Из прямоугольного треугольника скоростей находим:

Пример задачи:
Кривошипы и
паровозных осей
и
(рис. 128) длиной

вращаются с постоянной

угловой скоростью

и соединены между собой спарником . Радиусы колее
. Колеса катятся по рельсам без скольжения. Определить абсолютную скорость любой точки
спарника
для четырех, указанных на рис. 128, положений кривошипа.

Решение:
Так как спарник совершает поступательное движение, то скорости всех его точек одинаковы. Скорость точки
равна скорости точки
, в которой конец спарника шарнирно соединен с кривошипом
. Точку
можно считать участвующей в двух движениях, в относительном — вращательном движении вокруг оси
и в переносном — вместе с паровозом в его поступательном движении со скоростью, равной скорости
оси
колеса. Найдем скорость
оси
или, что то же, скорость паровоза. Рассмотрим движение точки колеса, в которой оно касается рельса. Эта точка также участвует в двух движениях: в переносном, со скоростью
и в относительном — вращательном вокруг оси
. Относительная скорость
точки должна быть, очевидно, направлена (так, как показано на рис. 129) по касательной окружности колеса в сторону его вращения и равна по модулю
Но колесо катится без скольжения, поэтому абсолютная скорость точки касания колеса с рельсом должна равняться нулю. Отсюда, так как переносное и относительное движения точки направлены по одной прямой в противоположные стороны, имеем:

Модуль относительной скорости точки
Направление же этой скорости меняется в зависимости от положения точки
. Переносная скорость этой точки
. Строим теперь (рис. 129) параллелограммы скоростей для различных положений кривошипа и из них определяем модуль и направление абсолютной скорости точки:

Эта теория взята с полного курса лекций на странице решения задач с подробными примерами по предмету теоретическая механика:
Теоретическая механика — задачи с решением и примерами
Возможно вам будут полезны эти дополнительные темы: