Оглавление:
Теорема о сложении скоростей
Теорема. Абсолютная скорость точки равна геометрической сумме ее переносной и относительной скоростей
Доказательство. Пусть точка 
движется относительно некоторой подвижной системы 
отсчета и имеете с этой системой перемещается относительно неподвижной системы отсчета (рис. 125).
За начало новой (недвижной) системы координатных осей 
, неизменно связанных с подвижной системой , примем какую-нибудь произвольную точку 
этой системы. Положение точки относительно подвижной системы отсчета определяется радиусом-вектором 
.
Если отложить на осях подвижной системы координат единичные векторы 
и 
то по формуле (55) можно записать, что
Относительная скорость 
точки равна производной по времени от радиуса-вектора 
этой точки. Для того чтобы ее определить, нужно мысленно остановить переносное движение (т. е. подвижную систему отсчета) и считать, следовательно, орты и постоянными векторами. В этом случае, дифференцируя равенство (I), получим:
Положение начала подвижной системы относительно неподвижной системы определяется радиусом-вектором
Положение точки относительно неподвижной системы отсчета определяется радиусом-вектором
Как видно из векторного треугольника 
(рис, 125):
или, если подставить сюда выражение (I) для ,
Для того чтобы определить переносную скорость 
точки 
, надо мысленно остановить относительное движение точки и определить ее скорость как точки, неизменно связанной с подвижной системой . Следовательно, переносную скорость точки можно найти, дифференцируя по времени равенство (III), полагая при этом координаты 
и 
точки относительно подвижной системы отсчета постоянными величинами.
В этом случае, дифференцируя равенство (III), получим:
Определим теперь абсолютную скорость с точки . При произвольном движении подвижной системы и неизменно связанных с ней координатных осей орты и изменяют свое направление и являются переменными векторами. При движении точки относительно подвижной системы переменными будут и ее координаты и . Таким образом, при определении абсолютной скорости точки все члены, входящие в равенство (III), надо считать переменными.
В этом случае, дифференцируя равенство (III), получим:
Нетрудно видеть, что первое из двух выражений, стоящих в правой част последнего равенства и заключенных нами (для удобства) в скобки, представляет собой правую часть равенства (IV), т. с. переносную v,, скорость точки. Второе из этих выражений представляет собой правую часть равенства (II), т. с. относительную скорость точки.
Следовательно,
и теорема доказана.
Так как абсолютная скорость 
точки находится по общему правилу сложения двух векторов, т. е. изображается диагональю параллелограмма, построенного на
векторах ее переносной и относительной скоростей (рис. 126), то доказанную теорему называют часто теоремой параллелограмма скоростей.
Пример задачи:
Кулачок, имеющий форму клипа 
с углом 
(рис. 127), движется поступательно по горизонтальной плоскости со скоростью 
. Определить скорость стержня (толкателя) 
. опирающегося на кулачок и свободно скользящего в неподвижных направляющих.
Решение:
При движении клина вправо стержень получает поступательное движение по вертикали вверх. Так как при поступательном движении стержня все его точки имеют одинаковые скорости, то найдем скорость одной точки 
. Если мы примем за систему отсчета клин, то по отношению к нему точка перемещается вдоль прямой 
. Так как сам клин также движется по отношению к неподвижной системе отсчета, то движение точки по отношению к клину будет относительным движением, движение же этой точки имеете с клином — переносным движением.
Направление относительной и абсолютной скоростей точки нам извести. Наличие неподвижных направляющих позволяет стержню (и его точке ) иметь только одно движение по отношению к неподвижной системе отсчета — вертикальное.
Переносная скорость точки известна и по величине, и по направлению: 
. Строим параллелограмм скоростей точки . Из конца вектора 
переносной скорости точки проводим прямую, параллельную относительной скорости (прямой ), до пересечения ее с прямой , по которой направлена абсолютная скорость.
Из прямоугольного треугольника скоростей находим:
Пример задачи:
Кривошипы 
и 
паровозных осей 
и 
(рис. 128) длиной
вращаются с постоянной
угловой скоростью
и соединены между собой спарником 
. Радиусы колее 
. Колеса катятся по рельсам без скольжения. Определить абсолютную скорость любой точки 
спарника для четырех, указанных на рис. 128, положений кривошипа.
Решение:
Так как спарник совершает поступательное движение, то скорости всех его точек одинаковы. Скорость точки равна скорости точки 
, в которой конец спарника шарнирно соединен с кривошипом 
. Точку можно считать участвующей в двух движениях, в относительном — вращательном движении вокруг оси 
и в переносном — вместе с паровозом в его поступательном движении со скоростью, равной скорости 
оси колеса. Найдем скорость оси или, что то же, скорость паровоза. Рассмотрим движение точки колеса, в которой оно касается рельса. Эта точка также участвует в двух движениях: в переносном, со скоростью 
и в относительном — вращательном вокруг оси . Относительная скорость 
точки должна быть, очевидно, направлена (так, как показано на рис. 129) по касательной окружности колеса в сторону его вращения и равна по модулю 
Но колесо катится без скольжения, поэтому абсолютная скорость точки касания колеса с рельсом должна равняться нулю. Отсюда, так как переносное и относительное движения точки 
направлены по одной прямой в противоположные стороны, имеем:
Модуль относительной скорости точки 
Направление же этой скорости меняется в зависимости от положения точки . Переносная скорость этой точки . Строим теперь (рис. 129) параллелограммы скоростей для различных положений кривошипа и из них определяем модуль и направление абсолютной скорости точки:
Эта теория взята с полного курса лекций на странице решения задач с подробными примерами по предмету теоретическая механика:
Теоретическая механика — задачи с решением и примерами
Возможно вам будут полезны эти дополнительные темы:
