Теорема о сложении скоростей в сложном движении точки

Теорема о сложении скоростей в сложном движении точки

Пусть некоторая неизменяемая система отсчета (в частном случае такой системой может быть абсолютно твердое тело S) совершает определенное движение относительно неподвижной системы координат а материальная точка М движется относительно этой подвижной неизменяемой системы (рис. 36). Движение точки М по отношению к системе координат называют абсолютным движением, а ее траекторию в этом движении абсолютной траекторией. Движение точки относительно системы называют относительным движением, а траекторию в этом движении — относительной траекторией точки. Если точку М закрепить в некоторый момент в подвижной системе, то она будет двигаться лишь как точка подвижной системы.

Такое движение точки называют переносным движением точки в данный момент времени. Соответствующая траектория точки называется переносной траекторией для данного момента времени. Скорость движения точки по абсолютной траектории называют абсолютной траекторией точки, а скорость движения точки по отношению к подвижной системе отсчета — ее относительной скоростью. Если точку в рассматриваемый момент времени закрепить в подвижной системе и рассматривать ее движение вместе с этой системой, то скорость ее движения в этот момент времени представит переносную скорость точки. Теорема. Абсолютная скорость материальной точки равна геометрической сумме ее переносной и относительной скоростей:

Доказательство. Рассмотрим два близких положения неизменяемой подвижной системы в моменты времени Перемещения точки в абсолютном, относительном и переносном движениях (рис. 36) представляются соответственно векторами Вектор равен геометрической сумме векторов

Средняя абсолютная скорость точки за время по
определению, равна отношению вектора перемещения ко времени т. е.

Разделив равенство (а) на будем иметь

Вектор

определяет среднюю скорость точки в подвижной системе S, вектор

представляет среднюю скорость переносного движения, поэтому равенство можно переписать в виде

Векторы пропорциональны соответствующим векторам
перемещений (рис. 36). В пределе при векторы дают значения истинных скоростей в абсолютном, переносном и относительном движениях, т. е.

Полученная теорема имеет исключительно важное значение в механике. Рассмотрим некоторые примеры на ее применение.

Пример:

Палочка вращается в плоскости вокруг своего
неподвижного конца угловой скоростью Точка скользит вдоль палочки со скоростью Определить абсолютную скорость точки (рис. 37).

Решение:

Точка участвует в двух движениях. Она перемещается вместе с палочкой и, кроме того, движется вдоль палочки. Относительно палочки точка совершает прямолинейное движение со скоростью поэтому, приняв за подвижную

систему палочку, получим следующее значение относительной
скорости точки:

Для определения переносной скорости точки рассмотрим движение той точки палочки, которая в данный момент совпадает с движущейся материальной точкой. В переносном движении точка описывает окружность вокруг точки со скоростью , а потому переносная скорость точки будет равна

Так как векторы переносной и относительной скоростей ортогональны, будем иметь

Полученные значения переносной и относительной скоростей совпадают с известными значениями радиальной и трансверсальной составляющими скорости.

Пример:

Палочки вращаются в плоскости чертежа с угловыми скоростями соответственно вокруг неподвижных точек (рис. 38). На обе палочки одновременно надето кольцо перемещающееся при вращении палочек. Определить абсолютную скорость кольца.

Решение:

Выберем подвижную систему связанную с палочкой как указано на рис. 38. В этой системе кольцо все время находится на оси а его относительная скорость направлена вдоль выбранной оси, причем величина относительной скорости остается пока неизвестной. Переносная скорость колечка равна скорости той точки подвижной системы (палочки которая в данный момент совпадает с колечком. Обозначив через расстояние получим

Эта скорость направлена параллельно оси По теореме о сложении скоростей абсолютная скорость колечка равна геометрической сумме переносной и относительной скоростей

Конец вектора относительной скорости расположен на прямой параллельной оси и проходящей через конец вектора переносной скорости. Следовательно, и конец вектора абсолютной скорости колечка будет находиться на прямой Выбирая теперь за подвижную систему оси связанные с палочкой
и повторяя все рассуждения, придем к заключению, что конец вектора абсолютной скорости будет находиться на прямой проходящей через конец вектора переносной скорости колечка в системе величина которой Точка пересечения прямых определяет положение конца вектора абсолютной скорости колечка.

Эта лекция взята со страницы, где размещены все лекции по предмету теоретическая механика:

Предмет теоретическая механика

Эти страницы возможно вам будут полезны:

Движение точки по окружности

Проекции ускорения на оси естественного трехгранника

Метод Роберваля построения касательных к плоским кривым

Аналитическое доказательство теоремы о сложении скоростей