Оглавление:
Теорема Лагранжа—Дирихле
- Небольшие колебания системы могут выполняться только в течение длительного времени вблизи стабильного положения равновесия системы. Поэтому важна теорема Лагранжа-Дирихле, устанавливающая достаточные условия. B q и e y Рисунок 108 Устойчивость положения равновесия системы. Теорема состоит в следующем. Потенциальная энергия достаточна для стабильности положения равновесия системы, которая зависит от голономной, идеальной, статической несвободной связи и находится в статическом поле потенциальной силы.
Равновесный Argye имел изолированный относительный минимум. Сначала мы докажем теорему о системе с одной степенью свободы и дадим четкую геометрическую интерпретацию. Потенциальная энергия системы с одной степенью свободы для статического силового поля зависит только от одной обобщенной координаты q, равной нулю в положении равновесия. Возьмем в этой позиции потенциальную энергию, равную нулю, т.е. 77 (0) = 0.
Так как это справедливо для любой точки фигуры, то, следовательно, мгновенный центр ускорений лежит в точке пересечения прямых линий, по которым направлены ускорения точек плоской фигуры. Людмила Фирмаль
Согласно гипотезе теоремы, в положении равновесия потенциальная энергия имеет изолированный относительный минимум, Пн-, „= 77 (0) = 0, а функция П = П (ц) в малой окрестности q = (), Принимает только положительные значения, является возрастающей функцией q, то есть имеет вид, показанный на рисунке 5. 108. Доказательство теоремы состоит из двух частей. Первая часть доказательства включает выбор значений для потенциальной энергии 77 *. Во второй части доказано, что наличие ненулевого положительного числа r и r] 2 гарантирует выполнение условия устойчивости.
Чтобы определить значение 77 *, задайте положительное число £ очень маленьким, чтобы его окрестность не включала смежное экстремальное значение функции = = Γ1 (q). Если q = r и q = — £, функция = = значение IJ (q), т.е. 77 (e) и / 7 (-e). Выберите наименьшее из двух положительных значений (например, 77 (e)) и получите его на 77 *. Если потенциальная энергия оказывается равной P (q) 0 и двух неравенств 7’0 , то есть положение равновесия Это стабильно.
Для системы с двумя степенями свободы доказательство второй части теоремы почти не меняется, за исключением случаев n0 = n (q °, <° °) и T0 = T (q%, q2, q °, Не введено * Выбор ** значений по следующим причинам вызовет некоторую функциональность. Для систем с 2 степенями свободы = = n (qi, q2). Для положения равновесия системы 91 = <72 = 0, возьмите 77 (0,0) = = 0. Следовательно, 77мин = 77 (0, 0) = 0. Потенциальная энергия П = n (qlt q2) в малой изолированной минимальной окрестности положительна, а зависимость от обобщенных координат имеет форму поверхности, показанную на рисунке. 109, а. Рис. 109.
- Выберите ε> 0 и рассмотрите потенциальную энергию / = 7 (ε, 92) и = = ((- £, 92), где q2 удовлетворяет условию | ^ 2 | <£. Зависимость 77 = 77 (е, q2) — это уравнение пересечения плоскости 9 = е (плоскость)) и поверхности П = n (qt, q2). Аналогично, n = n (-E, q2) — это пересечение той же поверхности, что и плоскость 9, = –6. Из набора значений для P (e, q2) и 77 (-c, q2) (рис. 109.6) выберите наименьшее 77, когда q2 изменяется с интервалом | 92 | $ b. Далее рассмотрим 77 = 77 (9, b) и n = n (qiy-b). Опять же, с кривой, подобной кривой, показанной на рисунке 92, плоскости 92 = е и q2 = ~ £. 109,6. Из набора значений потенциальной энергии выберите наименьшее значение P2.
Из двух положительных значений 77 и P2 минимальное значение принимается равным 77 *. Из метода выбора значения 77 * обобщенные координаты удовлетворяют условиям | q, | -> 9n). Выберите ε> 0. Учитывая обобщенную координату 9, значения 9 = e и 9 = —e, т.е. l9il = e, остальные обобщенные координаты в этом случае удовлетворяют условию | 9, — | ^ e. В этом случае выберите наименьшее / 7 из всех значений потенциальной энергии. Затем укажите значение 92 | = e для q2, но другие будут удовлетворять условию | 9f | <e при изменении. Минимальное значение потенциальной энергии в этих условиях обозначено P2.
Так как скорости в точках М и О рассматриваются в один и тот же момент времени, то удобно выбрать начало осей координат, относительно которых изучается движение сплошной среды, в точке О. Людмила Фирмаль
Продолжая этот процесс со всеми обобщенными координатами, мы получим последовательность положительных чисел 77 ,, 772, …, / 7. Минимальное значение считается «». До сих пор условие | 9, | <e применяется ко всем обобщенным координатам, когда система перемещает П <Γ. Система движется, когда система уведомляется о соответствующих начальных обобщенных координатах и скорости. Закон сохранения механической энергии выполняется, если система сохранения удовлетворяет ограничениям, указанным в условиях теоремы. T + P = T0 + P0.
Где n0 = n (q ° i, q ° 2, …, q °) и T0 = T (q4, q2, …, 9 °; 9?, 9§, …, 9 ° ), То есть величина, которая зависит от обобщенных координат и начального значения скорости. Когда система движется Γ = Из закона сохранения энергии n <m0 + n0. Это неравенство выполняется, если, например, два неравенства 770 <77 * / 2 и Go <77 ‘/ 2 выполнены. Получает ряд значений q °, удовлетворяющих условию a из условия Pa ** * 12; условие T0 </ / 2 и неравенство | <M) Из q — серия q °, удовлетворяющая условиям. ^ ° | <«^ ^ ^ 0. Что касается потенциальной энергии после этого, P <T0 + P0 <P ‘.
Таким образом, согласно выбору P ‘все обобщенные координаты удовлетворяют условию Следовательно, существуют положительные числа rjj и m] 2, которые определяют область начальных значений q ^ и q®, где все обобщенные координаты удовлетворяют условию. qt | <e, то есть положение равновесия устойчиво. Теорема Лагранжа-Дирихле полностью доказана. В некоторых случаях равновесная неустойчивость может быть установлена на основе теоремы Ляпунова.
Я показываю эти теоремы без доказательства. 1. Если минимальной потенциальной энергии системы в равновесии нет и она определяется малым членом второго порядка в ряду разложений потенциальной энергии в степени обобщенных координат, то равновесие консервативной системы Это нестабильно. 2. Система обслуживания, в которой потенциальная энергия системы в равновесии имеет максимальное значение, а существование максимального значения определяется членом низшего порядка при расширении ряда потенциальных энергий в обобщенной координатной мощности Равновесие неустойчиво.
Смотрите также:
Задачи по теоретической механике
| Устойчивость положения равновесия | Колебания системы с одной степенью свободы |
| Определение устойчивости положения равновесия | Дифференциальное уравнение собственных линейных колебаний системы |
